Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção.^[1]

Sejam duas retas ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$ pertencentes a um plano ${\displaystyle A}$. Diz-se que ${\displaystyle r}$ é paralela a ${\displaystyle s}$ (${\displaystyle r}$//${\displaystyle s}$) se, e somente se, ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$ são coincidentes (${\displaystyle r}$ = ${\displaystyle s}$) ou se a intersecção de ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$ é um conjunto vazio, ou seja, se elas não possuem pontos comuns.^[2]

" Se duas retas coplanares e distintas ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$, e uma transversal ${\displaystyle t}$, determinam um par de ângulos alternos (ou ângulos correspondentes) congruentes, então ${\displaystyle r}$ é paralela a ${\displaystyle s}$." ^{[2] [demonstração 1][2]}

O recíproco do teorema das retas paralelas, pode ser enunciado como segue:

Sejam ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$ retas paralelas e distintas. Se ${\displaystyle t}$ intercepta ambas, então vale que os ângulos alternos (ou correspondentes) formados pela intercecção são congruentes.^[2]

Caso as retas estejam no espaço, então para que sejam paralelas, elas devem determinar um único plano e não possuírem ponto comum.^[3] Assim, duas retas serão paralelas se elas possuírem mesma direção.

Também conhecido como postulado de Euclides ou postulado das paralelas define que:

"Por um ponto passa uma única reta paralela a uma outra reta dada." ^[2]

Agora, caso ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$ forem retas paralelas, bem como as retas ${\displaystyle s}$ e ${\displaystyle t}$ forem paralelas, vale que ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle t}$ serão paralelas. ^[4]

No espaço, uma reta e um plano são paralelos se não se intersectam, ou seja, se não possuem pontos em comum.^[5]

Uma condição suficiente para a existência de retas e planos paralelos é a de que, definidos uma reta ${\displaystyle r}$ e um plano ${\displaystyle \pi }$, com ${\displaystyle r}$ não contida em ${\displaystyle \pi }$, se existir uma outra reta ${\displaystyle s}$ contida no plano ${\displaystyle \pi }$, de modo que ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$ sejam paralelas, então a reta ${\displaystyle r}$ será paralela ao plano ${\displaystyle \pi }$.^{[4] [demonstração 2] [4]}

Porém, caso a reta ${\displaystyle r}$ e o plano ${\displaystyle \pi }$ forem paralelos, então necessariamente a reta ${\displaystyle r}$ será paralela a uma reta do plano ${\displaystyle \pi .}$^{[4] [demonstração 3] [4]}

No espaço, há duas possibilidades para que dois planos sejam paralelos:

1. se eles não se intersectam, ou seja, não possuem nenhum ponto em comum;
2. se são coincidentes (iguais). ^[4]

Desse modo, para determinar dois planos distintos e paralelos, é suficiente que a partir de duas retas concorrentes de um dos planos, definamos o outro plano, paralelo à ambas as retas concorrentes do plano inicial,^[4] ou seja, para que dois planos distintos ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \pi }$ sejam paralelos, deve-se ter ou ${\displaystyle \alpha }$ ou ${\displaystyle \pi }$ com duas retas concorrentes que sejam paralelas ao outro plano.^[6]

Sendo assim, se dois planos ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \pi }$ são paralelos e distintos, todas as retas do plano ${\displaystyle \alpha }$ são paralelas ao plano ${\displaystyle \pi }$, assim como todas as retas do plano ${\displaystyle \pi }$ são paralelas ao plano ${\displaystyle \alpha }$. Ainda, cada uma das retas de ${\displaystyle \pi }$ é paralela a pelo menos uma reta de ${\displaystyle \alpha }$ e vice-versa.^[6]

Representa-se uma reta na geometria analítica por meio de uma equação de 1º grau que possui duas incógnitas. Para determiná-la são necessários:

• 2 pontos distintos pertencentes à reta;

ou

• 1 ponto da reta e o valor do ângulo de inclinação da reta.^[7]

Para que três pontos ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ e ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$estejam alinhados (e portanto, pertençam à mesma reta) é necessário que o determinante

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}}$

seja igual a zero. Logo, supondo que ${\displaystyle A(x_{1},y_{1})}$ e ${\displaystyle B(x_{2},y_{2})}$ sejam pontos distintos pertencentes à uma reta ${\displaystyle t}$, para determinar sua equação, basta resolver tal determinante com os pontos ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ e um ponto genérico ${\displaystyle P(x,y)}$ pertencente à ${\displaystyle t}$.^[7] Os valores para ${\displaystyle P}$ são fixados apenas para verificar se o ponto está alinhado aos outros dois, ou seja, para concluir se o ponto pertence à reta determinada pelos outros dois pontos.

Como o resultado do determinante deve ser igual a 0, então:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x&y&1\end{vmatrix}}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow x_{1}y_{2}+xy_{1}+x_{2}y-(xy_{2}+x_{1}y+x_{2}y_{1})=0}$

${\displaystyle \Rightarrow xy_{1}-xy_{2}+x_{2}y-x_{1}y+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow x(y_{1}-y_{2})+y(x_{2}-x_{1})+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0}$

Como a equação da reta é da forma ${\displaystyle ax+by+c=0}$, sendo ${\displaystyle a\neq 0}$e ${\displaystyle b\neq 0}$, neste caso ${\displaystyle a=y_{1}-y_{2}}$, ${\displaystyle b=x_{2}-x_{1}}$ e ${\displaystyle c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}$.^[7]

Partindo da equação geral da reta, é possível descobrir o valor do ângulo de inclinação da reta, de modo a verificar outras retas com mesmo ângulo de inclinação e portanto, paralelas.

Denotaremos por ${\displaystyle \beta }$ o ângulo de inclinação da reta ${\displaystyle t}$. Este ângulo deve partir do eixo ${\displaystyle x}$ no sentido anti-horário. A tangente do ângulo ${\displaystyle \beta }$ é denominada coeficiente angular ou declividade da reta.^[7] É comum indicar o coeficiente angular por ${\displaystyle m:}$

${\displaystyle tg\beta =m.}$

Há quatro possibilidades para ${\displaystyle m}$, as quais possuem algumas peculiaridades:

• ${\displaystyle \beta =0\,^{\circ };}$
• ${\displaystyle 0\,^{\circ }<\beta <90\,^{\circ };}$
• ${\displaystyle \beta =90\,^{\circ };}$
• ${\displaystyle 90\,^{\circ }<\beta <180\,^{\circ }.}$

Caso ${\displaystyle \beta =90\,^{\circ }}$, segue que a reta é paralela ao eixo y (mas o valor da tangente de 90° não está definido). Porém, se ${\displaystyle \beta =0\,^{\circ }}$, observa-se que sua declividade é nula e assim, a reta é paralela ao eixo x.^[7]

Para os dois outros casos, pode-se calcular ${\displaystyle m}$partindo dos valores das coordenadas dos pontos ${\displaystyle A}$e ${\displaystyle B}$, bastando definir um ponto ${\displaystyle C}$, tal que ABC seja um triângulo retângulo em ${\displaystyle C}$. Sem perda de generalidade, supomos ${\displaystyle y_{2}>y_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}\neq x_{1}}$ e fixemos ${\displaystyle C(x_{2},y_{1})}$. O cateto oposto do triângulo retângulo irá medir ${\displaystyle |y_{2}-y_{1}|}$e o cateto adjacente ${\displaystyle |x_{2}-x_{1}|}$(o valor está em módulo pois indica uma medida. No cálculo da tangente ele não será utilizado). Logo, sabendo que a tangente de um ângulo é dada pela razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Se ${\displaystyle m>0}$, então a declividade será positiva. Já se ${\displaystyle m<0}$, então a declividade será negativa.^[7]

Porém, caso a equação da reta esteja expressa na forma reduzida, reconhecer retas paralelas a ela será mais simples, bastando observar o valor do coeficiente que acompanha a incógnita da abscissa.

Para isso, considere uma reta ${\displaystyle p}$em que se conheça o valor do coeficiente angular, supomos ${\displaystyle m}$, além de um ponto ${\displaystyle D(x_{0},y_{0})}$ que pertença à ${\displaystyle p}$. Considere também um ponto genérico ${\displaystyle P(x,y)}$, tal que ${\displaystyle P\neq D}$.

Sabemos que:

${\displaystyle m={\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow y-y_{0}=m(x-x_{0}).}$

Se escolhermos ${\displaystyle D}$ de modo que ele seja o ponto em que a reta ${\displaystyle p}$ intercepta o eixo y, então o valor da sua abscissa será 0, e portanto, ${\displaystyle D(0,y_{0})}$, ou seja:

${\displaystyle y-y_{0}=m(x-0)}$

${\displaystyle \Rightarrow y-y_{0}=mx}$

${\displaystyle \Rightarrow y=mx+y_{0}.}$^[7]

Qualquer outra reta com um mesmo coeficiente angular ${\displaystyle m}$ será paralela a ${\displaystyle p}$.^[8]

Seja ${\displaystyle {\vec {v}}}$ um vetor que passa pela origem ${\displaystyle O(0,0,0)}$ com extremidade em ${\displaystyle F(a,b,c)}$. Então ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {OF}}}$, ou seja, ${\displaystyle {\vec {v}}=(a,b,c)}$. A equação da reta com mesma direção de ${\displaystyle {\vec {v}}}$, que passa pelo ponto ${\displaystyle F(a,b,c)}$ e pela origem pode ser representada por:

${\displaystyle Q=t{\vec {v}}}$

${\displaystyle \Rightarrow (x,y,z)=t(a,b,c)}$

em que ${\displaystyle t}$ é um valor real, variando de ${\displaystyle -\infty }$ a ${\displaystyle +\infty }$ e ${\displaystyle Q=(x,y,x)}$.

Caso o objetivo for determinar uma reta ${\displaystyle p}$ paralela à ${\displaystyle r}$, com ${\displaystyle p}$ passando por um ponto ${\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})}$, basta fazer:

${\displaystyle (x,y,z)=t(a,b,c)+(x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle \Rightarrow (x,y,z)=(ta+x_{0},tb+y_{0},tc+z_{0}).}$^[9]

O vetor ${\displaystyle {\vec {v}}}$ é chamado de vetor diretor da reta.^[10] Logo, qualquer reta com mesma direção de ${\displaystyle {\vec {v}}}$ será paralela à reta ${\displaystyle r}$. Desse modo, as retas:

${\displaystyle r:P=A+{\vec {v}}t}$

${\displaystyle s:P'=B+{\vec {u}}t}$

são paralelas se ${\displaystyle {\vec {v}}=k{\vec {u}}}$, sendo ${\displaystyle k}$ um número real.

A equação de um plano ${\displaystyle \pi }$ pode ser obtida a partir de uma reta que seja ortogonal a todos os vetores do plano e de um ponto ${\displaystyle P}$ pertencente ao plano.^[10]

Seja ${\displaystyle {\vec {u}}=(a,b,c)}$ um vetor não nulo, ortogonal a todos os vetores de ${\displaystyle \pi }$ e sejam ${\displaystyle P(x,y,z)}$ e ${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}$ pontos pertencentes a ${\displaystyle \pi }$. O vetor ${\displaystyle {\vec {u}}}$ é chamado de vetor normal ao plano ${\displaystyle \pi }$. Os vetores de ${\displaystyle {\vec {P_{1}P}}}$ e ${\displaystyle {\vec {u}}}$ são ortogonais, ou seja, o resultado de seu produto escalar é 0 (por isso o vetor ${\displaystyle {\vec {u}}}$ não deve ser o vetor nulo, já que o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor):^[10]

${\displaystyle {\vec {P_{1}P}}.{\vec {u}}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow (x-x_{1},y-y_{1},z-z_{1}).(a,b,c)=0}$

${\displaystyle \Rightarrow a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0}$

${\displaystyle \Rightarrow ax-ax_{1}+by-by_{1}+cz-cz_{1}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow ax+by+cz=ax_{1}+by_{1}+cz_{1}.}$

${\displaystyle ax_{1}+by_{1}+cz_{1}}$ é comumente denotado por ${\displaystyle d}$ e assim:

${\displaystyle ax_{1}+by_{1}+cz_{1}=d.}$

Qualquer ponto que satisfaça a equação anterior pertence ao plano ${\displaystyle \pi }$.^[10]

Sendo assim, dois planos serão paralelos se os seus vetores normais forem paralelos, ou seja, para

${\displaystyle \alpha :a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$

e

${\displaystyle \beta :a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$

vale que ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ serão paralelos se

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}.}$^[9]

Ainda, ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ serão paralelos e distintos se não houver pontos em comum entre eles, caso contrário ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ serão coincidentes e todos os pontos pertencentes a um pertencerão ao outro.

Para que uma reta ${\displaystyle t}$ seja paralela a um plano ${\displaystyle \alpha }$, basta que ${\displaystyle t}$ seja ortogonal ao vetor normal do plano. Logo, para a reta

${\displaystyle t:(x,y,z)=\alpha (a_{1},b_{1},c_{1})+(x_{0},y_{0},z_{0})}$

e o plano

${\displaystyle \beta :a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d=0}$

segue que se os produto escalar dos vetores ${\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})}$ e ${\displaystyle (a_{2},b_{2},c_{2})}$, respectivamente o vetor diretor da reta ${\displaystyle t}$ e o vetor normal do plano ${\displaystyle \beta }$, resultar em 0, então ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle \beta }$ serão paralelos.^[9]

Porém, há duas possibilidades. Caso a reta ${\displaystyle t}$ e o plano ${\displaystyle \beta }$ possuam pontos em comum, então ${\displaystyle t}$ estará contida em ${\displaystyle \beta }$ e de acordo com o paralelismo de uma reta e um plano no espaço euclidiano, ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle \beta }$ não serão paralelos. Caso não haja nenhum ponto em comum, então ${\displaystyle t}$ não estará contida em ${\displaystyle \beta }$ e ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle \beta }$ serão paralelos.

• Retas paralelas
• Perpendicularidade

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