A Notação de seta encadeada de Conway, criada pelo matemático John Horton Conway, é um meio de expressar certos números extremamente grandes. É simplesmente uma seqüência finita de inteiros positivos separados por setas para a direita, por exemplo, 2→3→4→5→6..

Como a maioria das simbologias combinatórias , a definição é recursiva. Neste caso, a notação eventualmente se resolve a ser o número mais à esquerda elevado a alguma potência inteira (geralmente enorme).

Uma Cadeia de Conway (ou simplesmente cadeia) é definida como segue:

• Qualquer número inteiro positivo é uma cadeia de comprimento 1.
• Uma cadeia de comprimento n, seguida por uma seta para a direita → e um inteiro positivo, juntos, formam uma cadeia de comprimento ${\displaystyle n+1}$.

Qualquer cadeia representa um número inteiro, de acordo com as quatro regras abaixo. Duas cadeias são ditas equivalentes se elas representam o mesma inteiro.

Se p e q são inteiros positivos, e X é uma subcadeia, então:

1. A cadeia ${\displaystyle p}$ representa o número p.
2. ${\displaystyle p\to q}$ representa a expressão exponencial ${\displaystyle p^{q}}$.
3. ${\displaystyle X\to p\to 1}$ é equivalente a ${\displaystyle X\to p}$.
4. ${\displaystyle X\to p\to (q+1)}$ é equivalente a ${\displaystyle X\to (X\to (\dots (X\to (X)\to q)\dots )\to q)\to q}$
   (com p copias de X, p - 1 copias de q, e p - 1 pares de parêntesis; aplica-se para q > 0).

Note-se que a última regra pode ser atualizada de forma recursiva para evitar elipses:

4a. ${\displaystyle X\to 1\to (q+1)=X}$

4b. ${\displaystyle X\to (p+1)\to (q+1)=X\to (X\to p\to (q+1))\to q}$

1. Uma cadeia de comprimento 3 corresponde à notação de seta para cima de Knuth e hiperoperadores:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\to q\to r={\mbox{hyper}}(p,r+2,q)=p\!\!\!&\underbrace {\uparrow \dots \uparrow } &\!\!\!q=p\uparrow ^{r}q.\\&\!\!\!r{\mbox{ arrows}}\!\!\!\end{matrix}}}$

1. a cadeia X→Y é da forma X→p; conseqüentemente:
2. a cadeia iniciando com a é uma potência de a
3. a cadeia 1→Y é igual a 1
4. a cadeia X→1→Y é igual a X
5. a cadeia 2→2→Y é igual a 4
6. a cadeia X→2→2 é igual a X→(X) (cadeia X com o seu valor concatenado a ela)

É preciso ter cuidado ao se tratar uma cadeia de setas como um todo. Cadeias de setas não descrevem a aplicação iterada de um operador binário. Considerando que as cadeias de outros símbolos infixados (por exemplo 3+4+5+6+7) podem muitas vezes ser considerados em fragmentos (por exemplo: (3+4)+5+(6+7)) sem uma mudança de significado (veja associatividade), ou pelo menos podem ser avaliadas, passo a passo em uma ordem prescrita, por exemplo, ${\displaystyle 2^{3^{4}}}$ da direita para a esquerda, que não é o caso com a seta de Conway.

Por exemplo:

• ${\displaystyle 2\rightarrow 3\rightarrow 2=2\uparrow \uparrow 3=2^{2^{2}}=16}$
• ${\displaystyle 2\rightarrow \left(3\rightarrow 2\right)=2^{(3^{2})}=2^{3^{2}}=512}$
• ${\displaystyle \left(2\rightarrow 3\right)\rightarrow 2=\left(2^{3}\right)^{2}=64}$

A quarta regra é a essência: uma cadeia de 3 ou mais elementos que terminam com 2 ou mais torna-se uma cadeia de mesmo comprimento, com um (geralmente vasto) penúltimo elemento aumentado . Mas o seu último elemento é diminuído, permitindo, eventualmente, a terceira regra encurtar a cadeia. Depois, parafraseando Knuth, "detalhes demais", a cadeia é reduzida a dois elementos e a segunda regra termina a recursividade.

Exemplos ficam bastante complicado rapidamente, aqui são pequenos exemplos:

n

= n (by rule 1)

p→q

= p^q (by rule 2)

Thus 3→4 = 3⁴ = 81

1→(qualquer expressão com setas)

= 1 uma vez que a expressão inteira, eventualmente, se reduz a 1^number = 1. (Na verdade, qualquer cadeia que contenha um 1 pode ser truncada logo antes deste 1; e.g. X→1→Y=X para todas as cadeias (incorporadas) X,Y.)

4→3→2

= 4→(4→(4)→1)→1 (by 1) e, em seguida, trabalhando dos parênteses mais internos para os externos,

= 4→(4→4→1)→1 (remove parênteses redundantes [rrp])

= 4→(4→4)→1 (2)

= 4→(256)→1 (3)

= 4→256→1 (rrp)

= 4→256 (2)

= 4²⁵⁶ ≈ 1.34078079299 × 10¹⁵⁴ aproximadamente (3)

Com setas de Knuth: ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow 3=4\uparrow 4\uparrow 4=4^{256}}$

2→2→4

= 2→(2)→3 (por 1)

= 2→2→3 (rrp)

= 2→2→2 (1, rrp)

= 2→2→1 (1, rrp)

= 2→2 (2)

= 4 (3) (Na verdade, qualquer cadeia começando com dois 2s representa 4.)

2→4→3

= 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2 (by 1) As quatro cópias de X (que é 2 aqui) estão em negrito para distingui-las das três cópias de q (que é também 2)

= 2→(2→(2→2→2)→2)→2 (rrp)

= 2→(2→(4)→2)→2 (exemplo prévio)

= 2→(2→4→2)→2 (rrp) (expressão expandida na equação seguinte mostra em negrito em ambas as linhas)

= 2→(2→(2→(2→(2)→1)→1)→1)→2 (1)

= 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2 (rrp)

= 2→(2→(2→(2→2)))→2 (2 repetidamente)

= 2→(2→(2→(4)))→2 (3)

= 2→(2→(16))→2 (3)

= 2→65536→2 (3,rrp)

= 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1 (1) com 65535 conjuntos de parêntesis

= 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...)))) (2 repetidamente)

= 2→(2→(2→(...2→(4))...)))) (3)

= 2→(2→(2→(...16...)))) (3)

= ${\displaystyle 2^{2^{\dots ^{2}}}}$ (uma torre com 2¹⁶ = 65536 andares)

Com as setas de Knuth: ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow 2=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 4=2\uparrow \uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2=2\uparrow \uparrow 65536}$.

2→3→2→2

= 2→3→(2→3)→1 (by 1)

= 2→3→8 (2 e 3) Com as setas de Knuth: 2 ↑⁸ 3 (prop1)

= 2→(2→2→7)→7 (1)

= 2→4→7 (dois 2 iniciais dão 4 [prop6]) Com as setas de Knuth: 2 ↑⁷ 4 (prop1)

= 2→(2→(2→2→6)→6)→6 (1)

= 2→(2→4→6)→6 (prop6)

= 2→(2→(2→(2→2→5)→5)→5)→6 (1)

= 2→(2→(2→4→5)→5)→6 (prop6)

= 2→(2→(2→(2→(2→2→4)→4)→4)→5)→6 (1)

= 2→(2→(2→(2→4→4)→4)→5)→6 (prop6)

= 2→(2→(2→(2→(2→(2→2→3)→3)→3)→4) →5)→6 (1)

= 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6 (prop6)

= 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6 (exemplo anterior)

= muito maior do que o número anterior

Com as setas de Knuth: ${\displaystyle 2\uparrow ^{6}2\uparrow ^{5}2\uparrow ^{4}2\uparrow ^{3}2\uparrow ^{2}65536.}$

3→2→2→2

= 3→2→(3→2)→1 (1)

= 3→2→9 (2 e 3)

= 3→3→8 (1)

Com as setas de Knuth: ${\displaystyle 3\uparrow ^{8}3}$.

Os casos mais simples, com quatro termos (contendo pelo menos dois inteiros) são:

• ${\displaystyle a\to b\to 2\to 2=a\to b\to 2\to (1+1)=a\to b\to (a\to b)\to 1=a\to b\to a^{b}=a\uparrow ^{a^{b}}b}$

(também na sequência da última propriedade citada)

• ${\displaystyle a\to b\to 3\to 2=a\to b\to 3\to (1+1)}$
  ${\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to (a\to b)\to 1)\to 1=a\to b\to (a\to b\to a^{b})=a\uparrow ^{a\to b\to 2\to 2}b}$
• ${\displaystyle a\to b\to 4\to 2=a\to b\to (a\to b\to (a\to b\to a^{b}))=a\uparrow ^{a\to b\to 3\to 2}b}$

Podemos ver um padrão aqui. Se, para qualquer cadeia X, nós fazemos ${\displaystyle f(p)=X\to p}$ então ${\displaystyle X\to p\to 2=f^{p}(1)}$ (ver potências de funções).

Aplicando isto com ${\displaystyle X=a\to b}$, então ${\displaystyle f(p)=a\uparrow ^{p}b}$ e ${\displaystyle a\to b\to p\to 2=a\uparrow ^{a\to b\to (p-1)\to 2}b=f^{p}(1)}$

Assim, por exemplo, ${\displaystyle 10\to 10\to 3\to 2=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10\!}$.

Prosseguindo:

• ${\displaystyle a\to b\to 2\to 3=a\to b\to 2\to (2+1)=a\to b\to (a\to b)\to 2=a\to b\to a^{b}\to 2=f^{a^{b}}(1)}$

De novo podemos generalizar. Quendo escrevemos ${\displaystyle g_{q}(p)=X\to p\to q}$ nós temos ${\displaystyle X\to p\to q+1=g_{q}^{p}(1)}$, isto é, ${\displaystyle g_{q+1}(p)=g_{q}^{p}(1)}$. No caso acima, ${\displaystyle g_{2}(p)=a\to b\to p\to 2=f^{p}(1)}$ e ${\displaystyle g_{3}(p)=g_{2}^{p}(1)}$, assim ${\displaystyle a\to b\to 2\to 3=g_{3}(2)=g_{2}^{2}(1)=g_{2}(g_{2}(1))=f^{f(1)}(1)=f^{a^{b}}(1)}$

A Função de Ackermann pode ser expressada usando-se a Notação de seta encadeada de Conway:

A(m, n) = (2 → (n+3) → (m − 2)) − 3 for m>2

daqui

2 → n → m = A(m+2,n-3) + 3 for n>2

(n=1 and n=2 corresponderia a A(m,-2)=-1 and A(m,-1)=1, que poderia logicamente ser adicionado).

O Número de Graham ${\displaystyle G\!}$ em si não pode ser expresso de forma sucinta na notação de seta encadeada de Conway, mas pela definição da função intermediária ${\displaystyle f(n)=3\rightarrow 3\rightarrow n\!}$, nós temos: ${\displaystyle G=f^{64}(4)\,}$, e ${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2\,}$

Prova: Aplicando para a definição, a regra 3, e a regra 4, temos:

${\displaystyle f^{64}(1)\,}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\dots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 1))\dots ))\,}$ (com 64 ${\displaystyle 3\rightarrow 3}$'s)

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\dots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)\rightarrow 1)\dots )\rightarrow 1)\rightarrow 1\,}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2;\,}$

${\displaystyle f^{64}(4)=G;\,}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\dots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 4))\dots ))\,}$ (com 64 ${\displaystyle 3\rightarrow 3}$'s)

${\displaystyle f^{64}(27)\,}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\dots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27))\dots ))\,}$ (com 64 ${\displaystyle 3\rightarrow 3}$'s)

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\dots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)))\dots ))\,}$ (com 65 ${\displaystyle 3\rightarrow 3}$'s)

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2\,}$ (computação como acima).

Desde que f é estritamente crescente,

${\displaystyle f^{64}(1)<f^{64}(4)<f^{64}(27)\,}$

que é a desigualdade dada.

Com as setas encadeadas é muito fácil se especificar um número muito maior. Por exemplo, note que

${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3~~=~~3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2)\rightarrow 2\,}$

que é muito maior do que o número Graham

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