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Em estatística, a expressão genérica de esperança, o ${\color {Red}n}$ -ésimo momento ou momento de ordem n de uma variável aleatória $X$ é dado por:

E\left[X^{\color {Red}n}\right],

onde o símbolo $E$ indica a operação de valor esperado ou esperança.^[1]

Os momentos são muito importantes em estatística para caracterizar distribuições de probabilidade. Por exemplo, a distribuição normal é caracterizada apenas pelo primeiro e pelo segundo momentos. Os primeiro, segundo, terceiro e quarto momentos caracterizam a tendência central, dispersão, assimetria e curtose, respectivamente, de uma distribuição de probabilidades.

Os momentos mais importantes são os quatro primeiros, que são muito utilizados para caracterizar funções densidade de probabilidade. Entretanto, é quase sempre possível calcular momentos de alta ordem.

Definição formal

Momento

As seguintes definições são equivalentes:

Para cada número inteiro ${\color {Red}n}$ , o ${\color {Red}n}$ -ésimo momento de uma variável aleatória $X$ é definido como

E\left[X^{\color {Red}n}\right].

^[2]

O n-ésimo momento da variável aleatória $X$ , cuja função densidade é dada por $f$ , é definido por:

\mu '_{\color {Red}n}=E\left[X^{\color {Red}n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{\color {Red}n}f(x)dx.

^[3]

Momento Central

Para cada número inteiro ${\color {Red}n}$ , o ${\color {Red}n}$ -ésimo momento central de uma variável aleatória $X$ é definido como

\mu _{\color {Red}n}=E\left[(X-E[X])^{\color {Red}n}\right].

^[2]

Cálculo de momentos

Por ser um cálculo de valor esperado (esperança), o cálculo dos momentos varia ligeiramente dependendo de a variável aleatória ser do tipo discreta ou contínua. Isso porque a esperança, no caso de variáveis aleatórias discretas, é calculado por uma soma ponderada das possíveis ocorrências. No caso de variáveis aleatórias contínuas, a esperança é calculada por uma integral (que nada mais é que uma soma infinita). A ideia, porém, é a mesma.

Valor de n	Tipo de variável	Substituindo o valor de ${\color {Red}n}$ na equação de definição de momento, temos	Substituindo o valor de ${\color {Red}n}$ na equação de definição de momento central, temos
1º momento ( ${\color {Red}n}=1$ )	Contínua	$\mu _{\color {Red}1}^{'}=E\left(x^{\color {Red}1}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{x}(x)x^{\color {Red}1}dx$ , ou seja, o primeiro momento é a média da variável X	$\mu _{\color {Red}1}=E\left[(X-E(X))^{\color {Red}1}\right]=E(X)-E(X)=0$ . Ou seja, o primeiro momento central é sempre igual a zero.
1º momento ( ${\color {Red}n}=1$ )	Discreta	$\mu _{\color {Red}1}^{'}=E\left(x^{\color {Red}1}\right)=\sum _{x}^{}\left[f_{x}(x)x^{\color {Red}1}\right]$ , ou seja, o primeiro momento é a média da variável X
2º momento ( ${\color {Red}n}=2$ )	Contínua	$\mu _{\color {Red}2}^{'}=E\left(x^{\color {Red}2}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{x}(x)x^{\color {Red}2}dx$	$\mu _{\color {Red}2}=E\left[(X-E(X))^{\color {Red}2}\right]=Var\left(X\right)$ . Ou seja, o segundo momento central de uma variável aleatória é sua variância.
2º momento ( ${\color {Red}n}=2$ )	Discreta	$\mu _{\color {Red}2}^{'}=E\left(x^{\color {Red}2}\right)=\sum _{x}^{}\left[f_{x}(x)x^{\color {Red}2}\right]$ .

Momento conjunto

Seja o vetor $X=\left[X_{1}X_{2}X_{3}\cdots X_{N}\right]$ . O k-ésimo momento conjunto de X é

$E\left[X_{1}^{k_{1}}*X_{2}^{k_{2}}*X_{3}^{k_{3}}*X_{4}^{k_{4}}...*X_{N}^{k_{n}}\right]$ ,^[4]

sendo que:

$\sum _{i=1}^{n}{k_{i}}=k.$

Ver também

Referências

↑ Weisstein, Eric W. "Moment." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Moment.html
↑ ^a ^b CASELLA, Gerorge, e BERGER, Roger L. Inferência Estatística - Tradução da segunda edição norte-americana. São Paulo: Centage Learning, 2010. ISBN 978-85-0894-7. Página 54.
↑ MORETTO, Fernando alves de Lima. Análise de componentes independentes aplicada à separação de sinais de áudio por meio de busca de projação. Dissertação de Mestrado. 2008. Disponível em: <http://www.google.com.br/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBwQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.teses.usp.br%2Fteses%2Fdisponiveis%2F3%2F3142%2Ftde-30052008-133011%2Fpublico%2FDissertacao_FernandoALMoreto_RevisadaOK.pdf&ei=huyLTdODOOy10QH75JG5Cw&usg=AFQjCNGErPTTrn-DAYk_AvdsDyGwNw14mQ>. Acesso em: 24 de março de 2011.
↑ Lectures on Probability, Statistics and Econometrics. Disponível em: <http://www.statlect.com/dstmom2.htm>. Acesso em: 24 de março de 2011.