Função zeta de Riemann

Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências (Encontre fontes: ABW • CAPES • Google (N • L • A)). (Maio de 2013)

A função zeta de Riemann é uma função especial de variável complexa, definida para $\mathrm {Re} (s)>1$ pela série $\zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{-s}.$

Fora do conjunto dos números complexos com parte real maior do que a unidade a função de Riemann pode ser definida por continuação analítica da expressão anterior. O resultado é uma função meromorfa com um pólo em $s=1$ de resíduo $1.$

Esta função é fundamental para a teoria dos números e em particular devido à hipótese de Riemann.

História

A primeira vez que esta função surgiu foi no trabalho de Leonhard Euler, que, ao estudar a distribuição dos números primos, mostrou que a série $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}$ era uma série divergente (o que, como corolário, é mais uma prova de que existem infinitos números primos).^[1]

A prova de Euler se baseou na identidade $\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }(1+p^{-s}+p^{-2s}+\ldots )=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }(1-p^{-s})^{-1}$ em que o produto percorre todos os números primos.^[1]

Euler e, mais tarde, Pafnuti Tchebychev, haviam usado esta identidade, respectivamente, para s igual a um e para s real. Riemann, em 1858, tratou s como uma variável complexa, e estudou a série $\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}$ por técnicas da teoria das funções analíticas. Esta série converge apenas em parte do plano complexo, mas define, por continuação analítica, uma função única para todos os números complexos,^{[Nota 1]} exceto para o polo em s = 1. Riemann usou a letra grega zeta para escrever esta função, e por causa disto ela é chamada função zeta de Riemann.^[2]

Riemann anunciou várias propriedades importantes desta função, porém suas provas eram incompletas. Seu trabalho foi completado por Hadamard, em 1893, e por Mangoldt, em 1894.^[3]

Zeros

Os zeros s = σ + i t desta função são de dois (ou três) tipos:

os zeros triviais, que são os valores de s que correspondem aos números pares negativos
os zeros localizados na linha crítica em que σ = 1/2
possíveis outros zeros, localizados na faixa crítica 0 < σ < 1

A hipótese de Riemann é a de que todos os zeros da faixa crítica são aqueles em que σ = 1/2.^[4]

Os três primeiros zeros na linha crítica da função correspondem a t₁ = 14,1347, t₂ = 21,0220 e t₃ = 25,0109.^[4]

Ver também

Notas e referências

Notas

↑ Em análise complexa, a continuação analítica de uma função pode retornar uma função multivariada, por exemplo, ${\sqrt {.}}$ é uma função que pode ser definida para valores complexos cuja parte real é maior que zero, mas sua continuação analítica para valores cuja parte real é negativa não é única, ou seja, dependendo do caminho que se tome, pode ser que ${\sqrt {-1}}$ seja i ou -i.

Referências

↑ ^a ^b Albert Edward Ingham, The Distribution of Prime Numbers (1932), Introduction, p.2 [google books]
↑ Albert Edward Ingham, The Distribution of Prime Numbers (1932), Introduction, p.4
↑ Albert Edward Ingham, The Distribution of Prime Numbers (1932), Introduction, p.5
↑ ^a ^b Richard P. Brent, Computation of the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip (1978). Computer Science Department. Paper 2376. [em linha]

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