Em qualquer triângulo, tem-se a <b +c , b <a +c e c <a +b . A desigualdade triangular é um teorema da geometria euclidiana que afirma que, num triângulo o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados. No texto clássico Os Elementos , de Euclides , este teorema é a Proposição 20 do Livro I.[ 1] A e B que o caminho de A até C somado ao de C até B .
No conjunto dos números reais , chamamos de desigualdade triangular, em analogia ao caso da geometria plana a seguinte expressão envolvendo módulos :
|
u
+
v
|
≤ ≤ -->
|
u
|
+
|
v
|
{\displaystyle |u+v|\leq |u|+|v|}
Que dá origem a outras desigualdades:
|
u
− − -->
v
|
≤ ≤ -->
|
u
|
+
|
v
|
{\displaystyle |u-v|\leq |u|+|v|}
|
u
|
− − -->
|
v
|
≤ ≤ -->
|
u
− − -->
v
|
{\displaystyle |u|-|v|\leq |u-v|\,}
|
|
u
|
− − -->
|
v
|
|
≤ ≤ -->
|
u
− − -->
v
|
{\displaystyle {\Big |}|u|-|v|{\Big |}\leq |u-v|\,}
Para a primeira, escreva
|
u
− − -->
v
|
=
|
u
+
(
− − -->
v
)
|
≤ ≤ -->
|
u
|
+
|
− − -->
v
|
=
|
u
|
+
|
v
|
{\displaystyle |u-v|=|u+(-v)|\leq |u|+|-v|=|u|+|v|}
Para a segunda,
|
u
|
=
|
v
+
(
u
− − -->
v
)
|
≤ ≤ -->
|
v
|
+
|
u
− − -->
v
|
{\displaystyle |u|=|v+(u-v)|\leq |v|+|u-v|\,}
A terceira é consequência da segunda, trocando os papéis de u e v .
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Teorema
Em
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
x
,
y
∈ ∈ -->
R
n
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}
[ 2]
‖ ‖ -->
x
+
y
‖ ‖ -->
≤ ≤ -->
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
+
‖ ‖ -->
y
‖ ‖ -->
{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}
Havendo igualdade se e só se
y
=
α α -->
x
{\displaystyle y=\alpha x}
|
1
+
α α -->
|
=
1
+
|
α α -->
|
{\displaystyle |1+\alpha |=1+|\alpha |}
Note que
α α -->
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
α α -->
≤ ≤ -->
− − -->
1
{\displaystyle \alpha \leq -1}
Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz , prova-se o teorema facilmente[ 2]
Tem-se (utilizando propriedades do produto interno ):
‖ ‖ -->
x
+
y
‖ ‖ -->
2
=
⟨ ⟨ -->
x
+
y
,
x
+
y
⟩ ⟩ -->
=
⟨ ⟨ -->
x
,
x
⟩ ⟩ -->
+
2
⟨ ⟨ -->
x
,
y
⟩ ⟩ -->
+
⟨ ⟨ -->
y
,
y
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle }
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I):
⟨ ⟨ -->
x
,
x
⟩ ⟩ -->
+
2
⟨ ⟨ -->
x
,
y
⟩ ⟩ -->
+
⟨ ⟨ -->
y
,
y
⟩ ⟩ -->
≤ ≤ -->
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
2
+
2
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
‖ ‖ -->
y
‖ ‖ -->
+
‖ ‖ -->
y
‖ ‖ -->
2
=
(
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
+
‖ ‖ -->
y
‖ ‖ -->
)
2
{\displaystyle \langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}}
Tendo em conta que a norma é um valor não-negativo, segue que:
‖ ‖ -->
x
+
y
‖ ‖ -->
2
≤ ≤ -->
(
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
+
‖ ‖ -->
y
‖ ‖ -->
)
2
⇔ ⇔ -->
‖ ‖ -->
x
+
y
‖ ‖ -->
≤ ≤ -->
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
+
‖ ‖ -->
y
‖ ‖ -->
{\displaystyle \|x+y\|^{2}\leq \left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}\Leftrightarrow \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}
Q.E.D.
A segunda parte do teorema decorre diretamente da aplicação da desigualdade de Cauchy-Schwarz (atentar no segundo termo do lado direito da equação).
Sejam X e Y dois números complexos , então:
|
X
+
Y
|
≤ ≤ -->
|
X
|
+
|
Y
|
{\displaystyle |X+Y|\leq |X|+|Y|}
|
X
|
− − -->
|
Y
|
≤ ≤ -->
|
X
− − -->
Y
|
{\displaystyle |X|-|Y|\leq |X-Y|}
A desigualdade triangular é tão importante nos conceitos da análise matemática e topologia que se torna um axioma na definição de métrica, ou seja toda métrica d deve satisfazer:
d
(
x
,
y
)
≤ ≤ -->
d
(
x
,
z
)
+
d
(
z
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\,}
A desigualdade triangular em espaços normados escreve-se da seguinte forma:
‖ ‖ -->
x
+
y
‖ ‖ -->
≤ ≤ -->
‖ ‖ -->
x
‖ ‖ -->
+
‖ ‖ -->
y
‖ ‖ -->
{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}
E generaliza-se por indução matemática para:
‖
∑ ∑ -->
n
=
1
N
x
n
‖
≤ ≤ -->
∑ ∑ -->
n
=
1
N
‖ ‖ -->
x
n
‖ ‖ -->
{\displaystyle \left\|\sum _{n=1}^{N}x_{n}\right\|\leq \sum _{n=1}^{N}\|x_{n}\|}
E também para séries infinitas:
‖
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
x
n
‖
≤ ≤ -->
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
‖ ‖ -->
x
n
‖ ‖ -->
{\displaystyle \left\|\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\right\|\leq \sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|}
Desigualdade triangular para integrais
A seguinte desigualdade é valida para qualquer função real
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
|
∫ ∫ -->
V
f
(
x
)
d
x
|
≤ ≤ -->
∫ ∫ -->
V
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \left|\int _{V}f(x)dx\right|\leq \int _{V}|f(x)|dx}
