Morga Iruzubieta é PhD em Direito Canônico pela Universidade de Navarra. Foi então pároco e oficial da diocese de Calahorra y La Calzada-Logroño. Depois disso, Celso Morga Iruzubieta foi oficial na Arquidiocese de Córdoba na Argentina e professor de direito canônico no Seminário Arquidiocesano de Córdoba por quatro anos. Em 1987 tornou-se membro da equipe da Congregação para o Clero, onde se tornou gerente de escritório em 2000. Em 25 de janeiro de 1993, o Papa João Paulo II concedeu-lhe o título honorário de Capelão de Sua Santidade (Monsenhor) e em 30 de março de 2004 o título de Prelado Honorário de Sua Santidade.[2][3] O Papa Bento XVI nomeou-o em 10 de novembro de 2009 subsecretário da Congregação para o Clero.[4]
Em 29 de dezembro de 2010, o Papa Bento XVI o nomeou Arcebispo titular de Alba Maritima e Secretário da Congregação para o Clero.[1] Bento XVI deu-lhe a consagração episcopal em 5 de fevereiro de 2011 na Basílica de São Pedro; os co-consagradores foram o Cardeal Angelo Sodano e o Cardeal Secretário de Estado Tarcisio Bertone, S.D.B. Em 21 de setembro de 2013, o Papa Francisco o confirmou como Secretário da Congregação para o Clero.