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Em física, a ação de Polyakov é a ação bidimensional de uma teoria conforme de campos (CFT en inglés)^[1] descrevendo a variedade^{[nota 1]} bidimensional^[2] que descreve a incorporação de uma corda no espaço-tempo na teoria das cordas. ^[3] ^[4] ^[5]

Esta ação foi introduzida por Stanley Deser e Bruno Zumino ^[6] e, independentemente, por L.Brink, Vecchia P.Di e PSHowe, ^[7] e passou a ser associada com Alexander Polyakov depois que ele fez uso dela na quantificação da corda.^[8]

A ação lê

{\mathcal {S}}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma )

onde $T$ é a tensão da corda, $g_{\mu \nu }$ é a métrica da variedade alvo^{[nota 2]}, $h_{ab}$ é a folha de universo métrica e $h$ é o determinante de ${ab}$ . A assinatura métrica é escolhido de tal modo que direções similares ao tempo são + e direções como espaço são -. A coordenada de folha de universo tipo espacial é chamada $\sigma$ ao passo que a coordenada de folha de universo tipo tempo é chamada $\tau$ . Esta variedade é também conhecida como modelo σ não-linear.^[9]

A ação de Polyakov deve ser completada pela ação de Liouville na teoria de campo de Liouville para descrever adequadamente as flutuações de cordas.

Relação com a ação Nambu-Goto

Escrevendo a equação de Euler-Lagrange para o tensor métrico $h^{ab}$ se obtém que:

{\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}=T_{ab}=0

Sabendo também que:

\delta {\sqrt {-h}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}h_{ab}\delta h^{ab}

Pode-se escrever o derivativo variacional da ação:

{\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}={\frac {T}{2}}{\sqrt {-h}}\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)

onde $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ o que leva a:

T_{ab}=T\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)=0

G_{ab}={\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}

G=\mathrm {det} \left(G_{ab}\right)={\frac {1}{4}}h\left(h^{cd}G_{cd}\right)^{2}

Se o tensor métrico auxiliar da folha de universo ${\sqrt {-h}}$ é calculado a partir das equações de movimento:

{\sqrt {-h}}={\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}

e substituído de volta à ação, ele se torna a ação Nambu-Goto:

S={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}G_{ab}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}h^{ab}G_{ab}=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-G}}

No entanto, a ação de Polyakov é mais facilmente quantificada porque é linear.

Notas

↑ Variedade é uma generalização da ideia de superfície. Existem vários tipos de variedades, de acordo com as propriedades que possuem. As mais usuais são as variedades topológicas e as variedades diferenciáveis.
↑ Um modelo σ não-linear descreve um campo escalar Σ que leva valores de uma variedade não-linear chamada de variedade alvo

Referências

↑ A. A. Belavin, Alexander M. Polyakov, and A. B. Zamolodchikov. Inﬁnite conformal symmetry in two-dimensional quantum ﬁeld theory. Nucl. Phys., B241:333–380, 1984
↑ Especificamente, ocorre em duas dimensões espaciais e uma dimensão temporal.
↑ Alexander M. Polyakov. Quantum geometry of bosonic strings. Phys. Lett., B103, 1981.
↑ A. M. Polyakov. String theory and quark conﬁnement. Nucl. Phys. Proc. Suppl.,68:1–8, 1998
↑ A. M. Polyakov and V. Rychkov. Gauge ﬁelds - strings duality and the loop equation. Nucl. Phys., B581:116–134, 200
↑ S. Deser and B. Zumino: A complete action for the spinning string. Physics Letters B65 (1976) 369
↑ L. Brink, P. Di Vecchia and P.S. Howe: A locally supersymmetric and reparametrization invariant action for the spinning string. Physics Letters B65 (1976) 471.
↑ Harmonicity in supermanifolds and sigma models por J. Muñoz-Masqué e J. A. Vallejo
↑ Friedan, D. (1980). «Nonlinear Models in 2+ε Dimensions» (PDF). Physical Review Letters. 45. 1057 páginas. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057