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Definição

Na matemática, uma ação de um grupo $G$ num conjunto $X$ é uma operação $α : G \times X \to X$ compatível com as operações do grupo $G$ , nos seguintes aspectos:

sendo $e$ a identidade de $G$ , vale $α (e, x) = x$ para cada $x \in X$ ;
vale $α (g \cdot h, x) = α (g, α (h, x))$ para quaisquer $g, h \in G$ e $x \in X$ .

O conceito de ação de grupo assemelha-se ao de espaço vetorial, ainda mais quando se usa a abreviação $g \cdot x$ para $α (g, x)$ .^[1]^[2].

As mais básicas ações de grupos podem ser tratadas geometricamente, como simetrias. Por exemplo, o $n$ -ésimo grupo diedral age no conjunto de vértices, mudando-os de posições por meios de reflexões e rotações; neste caso, a ação é fiel. O mesmo grupo diedral também tem outra ação dada por $α (g, x) = x$ , isto é, sem mover os vértices, e neste caso a ação não é fiel.

As muitas propriedades de ações de grupos aplicam-se em áreas como a teoria dos corpos, teoria dos grafos e até a física quântica.

Tipos de ações

Uma ação de grupo $α : G \times X \to X$ pode ser equivalentemente tratada como um homomorfismo $σ : G \to Aut(X)$ , levando elementos de $G$ a bijeções, dado por $σ (g)(x) = α (g, x)$ , de modo que se possam aproveitar resultados sobre homomorfismos de grupos no estudo de suas ações.^[1]

A ação $α$ é dita ser fiel quando $σ$ é função injetiva, isto é, quando o único elemento $g \in G$ tal que $\forall (x \in X), α (g, x) = x$ é a identidade.
A ação $α$ é dita ser transitiva quando qualquer elemento de $X$ pode ser levado a qualquer outro, isto é, quando, para quaisquer $x, y \in X$ , existe $g$ tal que $α (g, x) = y$ .
A ação $α$ é dita ser livre quando, se $α (g, x) = x$ para algum $x \in X$ , deve ser que $g$ é a identidade. (Quando $X$ é não vazio, isto é uma condição mais forte do que ser fiel.)^[1]

Exemplos

Todo grupo age sobre si mesmo, por $α (g, h) = g \cdot h$ , e ação é fiel, transitive e livre. (Esta afirmação básica, de que todo grupo admite ação fiel, é conhecida por teorema de Cayley.)
Todo grupo age trivialmente em qualquer conjunto, por $α (g, x) = x$ , e ação é (quando $X$ é não vazio), não fiel nem livre, e quando $X$ tem pelo menos dois elementos, também não é transitiva.
A operação $(g, h) \mapsto g -1 \cdot h$ não é uma ação de grupo (à esquerda), mas é uma ação de grupo à direita: uma operação $β : X \times G \to X$ (neste caso $β (h, g) := g -1 \cdot h$ ) satisfazendo propriedades análogas.
Todo grupo $G$ age em qualquer subgrupo normal seu $H$ por conjugação: $α (g, h) = g \cdot h \cdot g -1$ .
Sendo subgrupo $H \subseteq G$ , não necessariamente normal, há ação canônica de $G$ no conjunto de classes laterais $G / H$ , dada por: $α (g, x \cdot H) = (g \cdot x) \cdot H$ .^[1]^[2]

Órbitas e estabilizadores

Seja ação $α : G \times X \to X$ . A órbita de um elemento $x \in X$ é o subconjunto $O x := {g \cdot x | g \in G}$ . O estabilizador de $x \in X$ é o subgrupo $G x := {g \in G | g \cdot x = x}$ .^[2]

O teorema da órbita e do estabilizador diz que há isomorfismo canônico $O x ≅ G / G x$ entre ações. Em particular, no caso finito, pelo teorema de Lagrange, tem-se a fórmula $| O x | \cdot | G x | = | G |$ , onde as barras verticais denotam cardinalidade.

Eis uma aplicação desse teorema básico:^[3]

Dado $p$ primo, seja $G$ um $p$ -grupo não trivial, isto é, um grupo com precisamente $p n$ elementos, onde $n$ é um inteiro positivo. Prova-se que o seu centro $Z(G)$ , o conjunto dos elementos de $G$ comutando-se com qualquer outro elemento, é não trivial. Para tal, considera-se a ação de conjugação de $G$ em $G$ . O conjunto $G$ pode ser particionado em suas órbitas; as órbitas triviais (de um só elemento cada) constituem-se precisamente dos elementos do centro; sejam $n 1, \dots, n k > 1$ os tamanhos das outras órbitas, não triviais. Então, $| G | = |Z(G)| + n 1 + \dots + n k$ . Cada $n i$ é divisor de $| G |$ , que é uma potência do primo $p$ , logo também é potência do mesmo primo, e sendo diferente de um, há de ser múltiplo de $p$ . Desse como, como $| G |$ é múltiplo de $p$ , a parcela restante $|Z(G)|$ também é múltiplo de $p$ ; como a identidade é elemento central, há pelo menos outros $p - 1$ elementos centrais.

Outras aplicações desse teorema ocorrem nas provas dos teoremas de Sylow.

Variantes

Há o conceito similar de ação de semigrupo, cuja teoria, porém, se complica pela ausência da operação de inversão.

Representação de grupo é um conceito mais estrito, usado quando se deseja escrever uma ação de grupo em termos de multiplicação de matrizes.

O conjunto $X$ pode ter mais estrutura, e pode-se exigir que a ação de grupo seja compatível com essa estrutura; isso leva, por exemplo, ao estudo de ação de grupo contínua.

Todas essas variantes são casos particulares do conceito de functor.

Referências

↑ ^a ^b ^c ^d (Aluffi 2009, §II.9)
↑ ^a ^b ^c (Judson 2020, §14.1)
↑ (Judson 2020, §14.2)

Bibliografia

Aluffi, Paolo (2009), Algebra: Chapter 0, ISBN 978-0-8218-4781-7, Graduate Studies in Mathematics 1 ed. , American Mathematical Society .
Judson, Thomas (2020), Abstract Algebra: Theory and Applications . Tradução em espanhol por Antonio Behn.