Em geometria, um ângulo inscrito é formado quando duas retas secantes de um círculo (ou, em casos extremos, quando uma reta secante e uma reta tangente do círculo) intersectam o círculo por um ponto comum.
Tipicamente, é mais fácil pensar em um ângulo inscrito como definido por duas cordas do círculo dividindo um ponto.
As propriedades básicas dos ângulos inscritos são discutidas nas proposições 20-22 do livro 4 dos Elementos de Euclides. Essas proposições garantem que o ângulo inscrito tem a metade da medida do ângulo central correspondente, que ângulos inscritos em um mesmo arco de uma corda são iguais e que a soma dos dois ângulos inscritos distintos correspondentes a uma determinada corda é 180°.
Um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco correspondente.
Assim, seja A V ^ ^ --> B {\displaystyle A{\hat {V}}B} o ângulo inscrito de medida α α --> {\displaystyle \alpha } e A O ^ ^ --> B {\displaystyle A{\hat {O}}B} o ângulo central correspondente de medida β β --> . {\displaystyle \beta .}
Têm-se:
α α --> = β β --> 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {\beta }{2}}} ou α α --> = A B ^ ^ --> 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {\widehat {AB}}{2}}}
[1]
Para demonstrar essa propriedade é preciso considerar 3 casos:
Têm-se que O V ¯ ¯ --> ≡ ≡ --> O A ¯ ¯ --> , {\displaystyle {\overline {OV}}\equiv {\overline {OA}},} pois ambos são raios da circunferência.
Assim tem-se que △ △ --> O V A {\displaystyle \triangle {OVA}} é isósceles, o que implica V ^ ^ --> = α α --> {\displaystyle {\hat {V}}=\alpha } e A ^ ^ --> = α α --> . {\displaystyle {\hat {A}}=\alpha .}
Ainda no triângulo O V A {\displaystyle OVA} tem-se β β --> {\displaystyle \beta } como sendo um ângulo externo. Logo, pelo teorema do ângulo externo, tem-se:
β β --> = A ^ ^ --> + V ^ ^ --> ⟹ ⟹ --> β β --> = α α --> + α α --> ⟹ ⟹ --> β β --> = 2 α α --> . {\displaystyle \beta ={\hat {A}}+{\hat {V}}\qquad \Longrightarrow \qquad \beta =\alpha +\alpha \qquad \Longrightarrow \qquad \beta =2\alpha .}
Logo, α α --> = β β --> 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {\beta }{2}}} e, como β β --> = A B ^ ^ --> , {\displaystyle \beta ={\widehat {AB}},} vem α α --> = A B ^ ^ --> 2 . {\displaystyle \alpha ={\frac {\widehat {AB}}{2}}.}
Tomando um ponto C , {\displaystyle C,} sendo a intersecção de O V → → --> {\displaystyle {\overrightarrow {OV}}} com a circunferência e, sendo:
A V ^ ^ --> C = α α --> 1 , {\displaystyle A{\hat {V}}C=\alpha _{1},} A O ^ ^ --> C = β β --> 1 , {\displaystyle A{\hat {O}}C=\beta _{1},} C V ^ ^ --> B = α α --> 2 {\displaystyle C{\hat {V}}B=\alpha _{2}} e C O ^ ^ --> B = β β --> 2 . {\displaystyle C{\hat {O}}B=\beta _{2}.}
Analisando esse ângulos, pode-se observar que α α --> 1 {\displaystyle \alpha _{1}} é ângulo inscrito de arco correspondente β β --> 1 {\displaystyle \beta _{1}} e que α α --> 2 {\displaystyle \alpha _{2}} é ângulo inscrito de arco correspondente β β --> 2 . {\displaystyle \beta _{2}.}
Assim é possível relacionar esses dois ângulos, conforme foi demonstrado no 1° caso.
{ β β --> 1 = 2 α α --> 1 β β --> 2 = 2 α α --> 2 ⟹ ⟹ --> β β --> 1 + β β --> 2 = 2 ( α α --> 1 + α α --> 2 ) β β --> = 2 α α --> {\displaystyle {\begin{cases}\beta _{1}=2\alpha _{1}\\\beta _{2}=2\alpha _{2}\end{cases}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\beta _{1}+\beta _{2}=2(\alpha _{1}+\alpha _{2})}\qquad \beta =2\alpha }
Tomando um ponto C {\displaystyle C} de intersecção de V O → → --> {\displaystyle {\overrightarrow {VO}}} com a circunferência e, sendo:
B V ^ ^ --> C = α α --> 1 , {\displaystyle B{\hat {V}}C=\alpha _{1},} B O ^ ^ --> C = β β --> 1 , {\displaystyle B{\hat {O}}C=\beta _{1},} A V ^ ^ --> C = α α --> 2 {\displaystyle A{\hat {V}}C=\alpha _{2}} e A O ^ ^ --> C = β β --> 2 . {\displaystyle A{\hat {O}}C=\beta _{2}.}
Com isso, tem-se, seguindo o que foi demonstrado no primeiro caso:
{ β β --> 1 = 2 α α --> 1 β β --> 2 = 2 α α --> 2 ⟹ ⟹ --> β β --> 1 − − --> β β --> 2 = 2 ( α α --> 1 − − --> α α --> 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}\beta _{1}=2\alpha _{1}\\\beta _{2}=2\alpha _{2}\end{cases}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\beta _{1}-\beta _{2}=2(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}
Visto que β β --> = β β --> 1 − − --> β β --> 2 {\displaystyle \beta =\beta _{1}-\beta _{2}} e α α --> = α α --> 1 − − --> α α --> 2 , {\displaystyle \alpha =\alpha _{1}-\alpha _{2},} tem-se: β β --> = 2 α α --> {\displaystyle \beta =2\alpha }
Logo, um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente.
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