Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Twierdzenie Banacha o kontrakcji, o punkcie stałym[1][2][3], zasada Banacha[4] – twierdzenie topologii i teorii punktu stałego, dotyczące zupełnych przestrzeni metrycznych. Mówi ono, że dowolna kontrakcja takiej przestrzeni ma dokładnie jeden punkt stały. Do treści tego twierdzenia włącza się też konstruktywny dowód pierwszego faktu – do punktu stałego zbiega dowolny ciąg wartości iteracji danej kontrakcji, zaczynający się w dowolnym miejscu.

Ilustracją twierdzenia bywa obrazowa konsekwencja: gdy mapę Polski rozłoży się gdziekolwiek na ziemi w Polsce, to dokładnie jeden punkt powierzchni gruntu leży pod swoim obrazem[5].

Twierdzenie to opublikował Stefan Banach w 1922 roku w czasopiśmie „Fundamenta Mathematicae”, w kontekście przestrzeni Banacha[5]. Znalazło zastosowanie w analizie matematycznej, m.in. w badaniach równań różniczkowych, całkowych i analizie numerycznej. Udowodniono też:

  • uogólnienia – analogiczne własności szerszych klas funkcji;
  • odwrócenia – pewne własności funkcji zdefiniowane punktami stałymi pociągają za sobą kontrakcyjność.

Treść

Jeśli jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś jest kontrakcją, to[2]:

  • odwzorowanie ma dokładnie jeden punkt stały oraz
  • dla dowolnego ciąg jest zbieżny do

Dowód

  • Najłatwiej wykazać jednoznaczność punktu stałego: niech bowiem będzie stałą Lipschitza kontrakcji a jej punktami stałymi. Mamy wówczas
W ostatnim kroku skorzystano z ograniczeń na stałą implikujących Finalna nierówność zachodzi tylko dla co z definicji metryki oznacza, że a więc istnieje co najwyżej jeden punkt stały.
  • Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt i oszacujmy odległość między wartością -tej i -tej iteracji kontrakcji dla punktu (korzystając przy tym -krotnie z nierówności trójkąta). Można wykazać, iż ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, a zatem ma granicę (bo jest zupełna). Następnie łatwo już zauważyć, wykorzystując ciągłość funkcji że jego granica jest punktem stałym przekształcenia

Powstały też co najmniej cztery inne dowody tego twierdzenia, w tym jeden niekonstruktywny[6].

Zastosowania

Za pomocą tego twierdzenia można wykazać:

Wykorzystuje się je też m.in. w teorii równań różniczkowych[7][9] i całkowych[potrzebny przypis].

Uogólnienia

  • W twierdzeniu nie można opuścić założenia zupełności. Istotnie, odwzorowanie jest kontrakcją (niezupełnej) przestrzeni w siebie, pozbawioną punktów stałych[6].
  • Nie można też osłabić warunku kontrakcji, zastępując go zmniejszaniem odległości[6]:
Funkcja zmniejsza odległości punktów (choć nie jest kontrakcją) i nie ma punktu stałego.
  • Mimo to jeśli przestrzeń jest zwarta, powyższa nierówność zapewnia istnienie i jednoznaczność punktu stałego[potrzebny przypis].

Twierdzenie zachodzi też dla funkcji:

  • z kontraktywną iteracją naturalną[7];
  • spełnianiających nierówności typu
gdzie jest przekształceniem przedziału w siebie, mającym pewne szczególne własności, takie jak ciągłość, monotoniczność i inne[7].

Twierdzenia odwrotne

Twierdzenie Bessagi

Jeśli jest taką funkcją określoną na niepustym zbiorze że każda jej iteracja ma dokładnie jeden punkt stały, to można zmetryzować w sposób zupełny tak, by było kontrakcją względem tej metryki. Stałą kontrakcji może być dowolna liczba z przedziału zadana z góry[10].

Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; wykazał je Czesław Bessaga w 1958 roku[10].

Twierdzenie Meyersa

Niech będzie zupełną przestrzenią metryczną, a odwzorowaniem spełniającym następujące warunki:

  1. dla pewnego
  2. dla każdego
  3. istnieje takie otoczenie punktu że dla dowolnego otoczenia tego punktu istnieje taki indeks że dla

Wówczas dla dowolnej stałej istnieje równoważna z metryka zupełna na przy której jest kontrakcją ze stałą [potrzebny przypis].

Przypisy

  1. Banacha twierdzenie o punkcie stałym, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-26].
  2. a b publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 2, Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych, 3. Zupełność, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-25].
  3. Kuratowski 1972 ↓, s. 215.
  4. Górnicki 2008 ↓, s. 1.
  5. a b publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Szymon Wąsowicz, Opowieść o mapie, blog „Być matematykiem”, byc-matematykiem.pl, 15 marca 2015 [dostęp 2023-08-25].
  6. a b c Górnicki 2008 ↓, s. 3.
  7. a b c d e Górnicki 2008 ↓, s. 4.
  8. Kuratowski 1972 ↓, s. 216–217.
  9. Kuratowski 1972 ↓, s. 216.
  10. a b Górnicki 2008 ↓, s. 5.

Bibliografia

Literatura dodatkowa

Linki zewnętrzne