Konstruktywizm w filozofii matematyki

W filozofii matematyki konstruktywizm zakłada, że trzeba znaleźć (lub „skonstruować”) konkretny przykład obiektu matematycznego, aby udowodnić, że taki przykład istnieje. Natomiast, w klasycznej matematyce można udowodnić istnienie obiektu matematycznego bez „znajdowania” go wprost, lecz zakładając jego nieistnienie, a następnie wyprowadzając z tego założenia sprzeczność. Taki dowód przez sprzeczność można nazwać niekonstruktywnym, a konstruktywista może go odrzucić. Konstruktywistyczny punkt widzenia zakłada weryfikacyjną interpretację kwantyfikatora egzystencjalnego, która jest sprzeczna z jego klasyczną interpretacją.

Istnieje wiele form konstruktywizmu[1]. Należą do nich program intuicjonizmu założony przez Brouwera, finityzm Hilberta i Bernaysa, konstruktywna matematyka rekurencyjna Szanina i Markowa oraz program analizy konstruktywnej Bishopa[2]. Konstruktywizm obejmuje również badania nad konstruktywnymi teoriami zbiorów, takimi jak CZF, oraz badanie teorii toposu.

Konstruktywizm jest często utożsamiany z intuicjonizmem, chociaż intuicjonizm jest tylko jednym z programów konstruktywistycznych. Intuicjonizm utrzymuje, że podstawy matematyki tkwią w intuicji indywidualnego matematyka, czyniąc z matematyki dziedzinę wewnętrznie subiektywną[3]. Inne formy konstruktywizmu nie opierają się na tym ujęciu intuicji i są zgodne z obiektywnym poglądem na matematykę.

Matematyka konstruktywna

W dużej części matematyki konstruktywnej stosuje się logikę intuicjonistyczną, która jest zasadniczo logiką klasyczną pozbawioną prawa wyłączonego środka. Prawo to stanowi, że dla każdego zdania albo to zdanie jest prawdziwe, albo prawdziwe jest jego zaprzeczenie. Nie oznacza to, że prawo wyłączonego środka zostaje całkowicie odrzucone; szczególne przypadki tego prawa są możliwe do udowodnienia. Ważne jest to, że ogólne prawo nie jest przyjmowane jako aksjomat. Prawo niesprzeczności (które stwierdza, że sprzeczne zdania nie mogą być jednocześnie prawdziwe) nadal obowiązuje.

Na przykład korzystając z arytmetyki Heytinga, można udowodnić, że dla każdego zdania p nie zawierającego kwantyfikatorów, jest twierdzeniem (gdzie x, y, z ... są wolnymi zmiennymi w zdaniu p). W tym sensie zdania ograniczone do zbiorów skończonych są nadal uważane za prawdziwe lub fałszywe, tak jak w klasycznej matematyce, lecz ta biwalencja nie obejmuje zdań odnoszące się do zbiorów nieskończonych.

W istocie LEJ Brouwer, założyciel szkoły intuicjonistycznej, uważał prawo wyłączonego środka jako wyabstrahowane z doświadczenia skończonego, a następnie zastosowane do nieskończonego bez uzasadnienia. Na przykład hipoteza Goldbacha to stwierdzenie, że każda liczba parzysta (większa niż 2) jest sumą dwóch liczb pierwszych. Dla każdej konkretnej liczby parzystej można sprawdzić, czy jest ona sumą dwóch liczb pierwszych (na przykład poprzez wyszukiwanie wyczerpujące), więc każda z nich jest albo sumą dwóch liczb pierwszych, albo nie. I jak dotąd każda sprawdzona w ten sposób liczba była rzeczywiście sumą dwóch liczb pierwszych.

Ale nie jest znany dowód, że wszystkie liczby spełniają tę hipotezę, ani dowód, że nie wszystkie spełniają; nie wiadomo nawet, czy musi istnieć dowód lub obalenie hipotezy Goldbacha (hipoteza może być nierozstrzygalna w tradycyjnej teorii mnogości ZF). Dlatego według Brouwera nie można twierdzić, że „albo hipoteza Goldbacha jest prawdziwa, albo nie”. I chociaż hipoteza może kiedyś zostać rozwiązana, argument ten ma zastosowanie do podobnych nierozwiązanych problemów; dla Brouwera prawo wyłączonego środka było równoznaczne z założeniem, że każdy problem matematyczny ma rozwiązanie.

Po pominięciu prawa wyłączonego środka jako aksjomatu, pozostały system logiczny ma właściwość istnienia, której nie posiada logika klasyczna: zawsze, gdy jest udowodnione konstruktywnie, to w rzeczywistości jest udowodnione konstruktywnie dla (przynajmniej) jednego konkretnego zwanego często świadkiem. W ten sposób dowód istnienia obiektu matematycznego jest związany z możliwością jego konstrukcji.

Miejsce konstruktywizmu w matematyce

Niektórzy matematycy byli podejrzliwi, a nawet antagonistycznie nastawieni do konstruktywizmu matematycznego, przede wszystkim z powodu ograniczeń, jakie ich zdaniem stwarzał on dla analizy konstruktywnej. Poglądy te z całą mocą wyraził Davida Hilberta w 1928 roku, pisząc w Grundlagen der Mathematik: „Odebranie matematykowi zasady wyłączonego środka byłoby tym samym, co zakazanie astronomowi używania teleskopu, a bokserowi używania pięści”[4].

Errett Bishop w swojej publikacji z 1967 roku Foundations of Constructive Analysis[2] dążył do rozwiania tych obaw, opracowując wiele tradycyjnych analiz w ramach analizy konstruktywnej.

Wprawdzie większość matematyków nie akceptuje tezy konstruktywistów, że tylko matematyka oparta na metodach konstruktywnych jest prawidłowa, ale metody konstruktywistyczne budzą coraz większe zainteresowanie z powodów nieideologicznych. Dla przykładu, konstruktywistyczne dowody w analizie mogą zapewnić ekstrakcję świadków w taki sposób, że działając w ramach ograniczeń metod konstruktywnych, znalezienie świadków teorii może być łatwiejsze niż przy użyciu metod klasycznych. Zastosowania matematyki konstruktywnej znajdują się również w typowanych rachunkach lambda, teorii toposu i logice kategorycznej, które są ważnymi dziedzinami w matematyce podstawowej i informatyce. W algebrze, dla takich bytów jak toposy i algebra Hopfa, struktura wspiera wewnętrzny język, który jest konstruktywną teorią; praca w ramach ograniczeń tego języka jest często bardziej intuicyjna i elastyczna niż praca na zewnątrz przy pomocy takich metod, jak wnioskowanie o zbiorze możliwych algebr konkretnych i ich homomorfizmach.

Fizyk Lee Smolin w książce Three Roads to Quantum Gravity, że teoria toposów jest „właściwą formą logiki dla kosmologii” i „w swoich pierwszych formach była nazywana logiką intuicjonistyczną”. „W tym rodzaju logiki twierdzenia, które obserwator może wypowiedzieć na temat Wszechświata, dzielą się na co najmniej trzy grupy: te, które możemy uznać za prawdziwe, te, które możemy uznać za fałszywe i te, o których prawdziwości nie możemy w tej chwili zdecydować”.

Matematycy, którzy wnieśli znaczący wkład w konstruktywizm

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Read other articles:

Parliamentary constituency in the United Kingdom, 1997–2005 Not to be confused with Inverness East, Nairn and Lochaber (Scottish Parliament constituency). This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Inverness East, Nairn and Lochaber UK Parliament constituency – news · newspapers · books · scholar ...

Championnat du monde de volley-ball masculin Généralités Sport Volley-ball Création 1949 Organisateur(s) FIVB Éditions 20 (en 2022) Catégorie Compétition mondiale Périodicité Quadriennale Participants 111 équipes (qualifications)24 équipes (phase finale) Statut des participants Professionnel Site web officiel FIVB.com Palmarès Tenant du titre Italie (4) Plus titré(s) URSS (6) Pour la dernière compétition voir : Championnat du monde masculin de volley-ball 2022 modifie...

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018) عبد الواحد عبد الواحد الجنس اسم علم مذكر  [لغات أخرى]‏،  واسم مركب  [لغات أخرى]‏  لغة ال

BalawanInformasi latar belakangNama lahirI Wayan BalawanNama lainBalawanLahir9 September 1972 (umur 51)Gianyar, Bali, IndonesiaAsalGianyar.IndonesiaGenreJazz, Jazz fusion, Hard rockInstrumenGitarTahun aktif1995 - sekarangSitus webhttps://balawanguitar.com I Wayan Balawan (lahir 9 September 1972) adalah pemusik Jazz Indonesia. Balawan adalah seorang gitaris Jazz yang nama mencuat dan semakin difavoritkan di Indonesia dengan teknik bermain gitar Touch Tapping Style. Balawan membentuk Batua...

Massengrab in der Gemeinde Kamnik Während und nach dem Zweiten Weltkrieg wurden Massengräber in Slowenien als Folge von Kampfhandlungen oder außergerichtlichen Hinrichtungen angelegt. Meistens wurde ihre Existenz zwischen 1945 und 1990 geheim gehalten. Heute sind sie in Slowenien auch unter den Bezeichnungen „verborgene Gräberfelder“ (slowenisch: prikrita grobišča) oder „stille Gräberfelder“ (zamolčana grobišča) bekannt.[1][2] Einige der Stätten, wie die Mas...

Ayam goreng KoreaKorean-style yangnyeom fried chickenNama KoreaHangul양념 치킨 Alih Aksarayangnyeom chickenMcCune–Reischaueryangnyom chicken Ayam goreng Korea Ayam goreng Korea terdiri dari banyak hidangan ayam goreng yang diciptakan di Korea Selatan, termasuk huraideu-chicken (ayam goreng [biasa], dari bahasa Inggris fried chicken) dan ayam goreng berbumbu pedas yangnyeom chicken (ayam berbumbu).[1] Makanan ini dikomsumsi sebagai makanan utama, makanan cepat saji di bar, atau s...

Республіка Гамбіяангл. Republic of The Gambiaманд. ߞߊߡߓߌߦߊ (Kambiya)волоф. Gámbiфульф.

Upcoming video game 2018 video gameScumDeveloper(s)GamepiresPublisher(s)JagexEngineUnreal Engine 4Platform(s)Microsoft WindowsRelease29 August 2018 (early access)Genre(s)SurvivalMode(s)Single-player, multiplayer Scum is an upcoming multiplayer online survival game, developed by Croatian studio Gamepires, available under the Steam Early Access program. The game is described as a prison riot survival game[1] and will feature an open world.[2][3] It entered Steam's early ...

Species of butterfly Dingy bushbrown Wet-season form in Maredumilli reserve, Rajahmundry district, Andhra Pradesh, India Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Arthropoda Class: Insecta Order: Lepidoptera Family: Nymphalidae Genus: Mycalesis Species: M. perseus Binomial name Mycalesis perseus(Fabricius, 1775) Mycalesis perseus, the dingy bushbrown[1] or common bushbrown,[2][1] is a species of satyrine butterfly found in south Asia an...

Erik Durm Informasi pribadiTanggal lahir 12 Mei 1992 (umur 31)Tempat lahir Pirmasens, JermanPosisi bermain Bek kiriInformasi klubKlub saat ini Borussia DortmundNomor 37Karier junior1997–2008 SG Rieschweiler2008–2010 1. FC Saarbrücken2010–2011 1. FSV Mainz 05Karier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2010–2012 1. FSV Mainz 05 II 33 (13)2012–2013 Borussia Dortmund II 30 (2)2013– Borussia Dortmund 28 (1)Tim nasional‡2011 Jerman U-19 2 (2)2011 Jerman U-20 1 (0)2013– Jerman U-21 5 (...

العلاقات الدنماركية السورية الدنمارك سوريا   الدنمارك   سوريا تعديل مصدري - تعديل   العلاقات الدنماركية السورية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين الدنمارك وسوريا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه المقارن�...

British astronomer Charles Piazzi SmythCharles Piazzi SmythBorn(1819-01-03)3 January 1819Naples, ItalyDied21 February 1900(1900-02-21) (aged 81)SpouseJessica Duncan Piazzi SmythScientific careerFieldsAstronomyInstitutionsAstronomer Royal for Scotland Charles Piazzi Smyth FRSE FRS FRAS FRSSA (3 January 1819 – 21 February 1900) was an Italian-born British astronomer who was Astronomer Royal for Scotland from 1846 to 1888; he is known for many innovations in astronomy and, along with his ...

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Wake Your Mind – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2011) (Learn how and when to remove this template messa...

2006 film by Claudio Fäh This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Hollow Man 2 – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2015) (Learn...

Sports venue in London The Polytechnic StadiumLocationChiswick, LondonCoordinates51°28′33″N 0°16′07″W / 51.4759°N 0.2685°W / 51.4759; -0.2685TenantsFulham RLFC (1985-1990) The Polytechnic Stadium is a sports venue on Hartington Road, Chiswick, London. It is the centre piece of the Quintin Hogg Memorial Grounds (now known as University of Westminster Sports Grounds).[1] In 1888 Quintin Hogg built a boathouse near Chiswick Bridge, which is used at the...

テレビ番組・中継内での各種情報(終了した番組・中継を含みます)は、DVDやBlu-rayなどでの販売や公式なネット配信、または信頼できる紙媒体またはウェブ媒体が紹介するまで、出典として用いないで下さい。検証可能性に基づき除去される場合があります。 志村(しむら) けん 志村けんの像本名 志村(しむら) 康徳(やすのり)ニックネーム けんちゃんシムケン...

Mechamato MoviePoster rilis teatrikal resmiSutradaraNizam RazakProduserKee Yong PinNizam RazakDitulis olehNizam RazakBerdasarkanMechamato Oleh Nizam RazakPemeranArmand EzraAdzlan NazirFadhli Mohd RawiIelham IskandarMarissa BalqisFazreen MohdHazzley Abu BakarFeroz FaizalPenata musikYuri WongNur Sharmine Md BakriSimmy LorPenyuntingDzubir Mohammed ZakariaRaja Nukman Raja Mohd NoordinHafiz Ashraf Saipul IslamPerusahaanproduksiAnimonsta StudiosAstro ShawDistributorAstro Shaw CBI Pictures —...

Henry LevinDate personaleNăscut5 iunie 1909[1][2][3][4] Trenton, New Jersey, SUA[5] Decedat1 mai 1980 (70 de ani)[1][2][3][4] California, SUA Căsătorit cuMildred Levin, Ethel Levin, Rozann Levin.Cetățenie Statele Unite ale Americii OcupațieActor, regizor de teatru, regizor de filmLimbi vorbitelimba engleză Modifică date / text  Henry Levin (n. 5 iunie 1909, Trenton, New Jersey, SUA – d. 1 mai ...

تنظيم الأسرةصنف فرعي من تخطيط فروع تحديد النسل — إجهاض — تبني — تربية جنسية الاستعمالات حماية المناخ[1] تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات تُعرّف خدمات تنظيم الأسرة على أنّها نشاطات تعليميّة أو طبيّة شاملة أو اجتماعيّة تُمكّن الأفراد والقاصرين منهم، من تحديد عدد �...

City in California, United States Not to be confused with Midlakes, California or Blue Lakes (California). City in California, United StatesCity of Blue LakeCity SealLocation of Blue Lake in Humboldt County, California.Coordinates: 40°52′58″N 123°59′02″W / 40.88278°N 123.98389°W / 40.88278; -123.98389CountryUnited StatesStateCaliforniaCountyHumboldtIncorporatedApril 23, 1910[1]Government • TypeMayor-council government • Mayor...