Test istotności dla dwóch średnich – test istotności, służący do wnioskowania o równości dwóch średnich w dwóch populacjach normalnych. W zależności od posiadanych informacji o porównywanych populacjach wyróżnia się trzy modele, w których można zweryfikować hipotezę ${\displaystyle H_{0}:m_{1}=m_{2},}$ gdzie ${\displaystyle m_{1}}$ i ${\displaystyle m_{2},}$ to średnie podanych populacji generalnych. Natomiast postać hipotezy alternatywnej ${\displaystyle H_{1}}$ decyduje o obszarze krytycznym, który może być jednostronny lub dwustronny.

Mamy podane dwie populacje generalne o rozkładach normalnych ${\displaystyle N(m_{1},\sigma _{1})}$ i ${\displaystyle N(m_{2},\sigma _{2}),}$ których odchylenia standardowe są znane. Test istotności wygląda następująco:

${\displaystyle u={\frac {{\overline {x_{1}}}-{\overline {x_{2}}}}{\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}$

gdzie:

• ${\displaystyle {\overline {x_{1}}},{\overline {x_{2}}}}$ – średnie z prób,
• ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ – odchylenia standardowe z populacji,
• ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$ – liczebności prób.

W tym przypadku ${\displaystyle u}$ ma rozkład normalny ${\displaystyle N(0,1)}$ jeśli hipoteza o równości średnich jest prawdziwa.

 Osobny artykuł: test t Studenta.

Mamy podane dwie populacje generalne o rozkładach normalnych ${\displaystyle N(m_{1},\sigma _{1})}$ i ${\displaystyle N(m_{2},\sigma _{2}),}$ których odchylenia standardowe nie są znane, wiemy jednak, że ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}.}$ Test istotności wygląda następująco:

${\displaystyle t={\frac {{\overline {x_{1}}}-{\overline {x_{2}}}}{\sqrt {{\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}})}}},}$

gdzie:

• ${\displaystyle {\overline {x_{1}}},{\overline {x_{2}}}}$ – średnie z prób,
• ${\displaystyle s_{1},s_{2}}$ – odchylenia standardowe z prób,
• ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$ – liczebności prób.

Rozkład statystyki testowej ${\displaystyle t}$ jest rozkładem t-Studenta o ${\displaystyle n_{1}+n_{2}-2}$ stopniach swobody.

 Osobny artykuł: test t Welcha.

Mamy podane dwie populacje generalne o rozkładach normalnych ${\displaystyle N(m_{1},\sigma _{1})}$ i ${\displaystyle N(m_{2},\sigma _{2}),}$ których odchylenia standardowe nie są znane a wielkości prób są przynajmniej 30. Test istotności wygląda następująco:

${\displaystyle u={\frac {{\overline {x_{1}}}-{\overline {x_{2}}}}{\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}},}$

gdzie:

• ${\displaystyle {\overline {x_{1}}},{\overline {x_{2}}}}$ – średnie z prób,
• ${\displaystyle s_{1},s_{2}}$ – odchylenia standardowe z prób,
• ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$ – liczebności prób.

Liczba stopni swobody ${\displaystyle \nu }$ rozkładu t-Studenta związana z tą estymatą wariancji jest przybliżana za pomocą równania Welcha-Satterthwaite’a:

${\displaystyle \nu ={\frac {\left({\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}\right)^{2}}{{\frac {s_{1}^{4}}{n_{1}^{2}\cdot (n_{1}-1)}}+{\frac {s_{2}^{4}}{n_{2}^{2}\cdot (n_{2}-1)}}}}\cdot }$

Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu normalnego

Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu Studenta

• statystyka
• test istotności
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• weryfikacja hipotez statystycznych