Obszar zbieżności szeregu Laurenta. Szereg Laurenta funkcji zespolonej
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
szeregu potęgowego , w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora . Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta , który opublikował go w 1843 roku.
Jeżeli funkcję
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
ϕ ϕ -->
(
z
)
{\displaystyle \phi (z)}
ψ ψ -->
(
z
)
,
{\displaystyle \psi (z),}
D :
ϕ ϕ -->
(
z
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
a
n
(
z
− − -->
c
)
n
{\displaystyle \phi (z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}
ψ ψ -->
(
z
)
=
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
a
− − -->
n
(
z
− − -->
c
)
− − -->
n
{\displaystyle \psi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{-n}(z-c)^{-n}}
gdzie c - dowolnie wybrana, stała liczba zespolona, zwana środkiem szeregu, to funkcję
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
[1]
f
(
z
)
=
∑ ∑ -->
n
=
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
a
n
(
z
− − -->
c
)
n
.
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.}
Reprezentację taką nazywamy szeregiem Laurenta funkcji
f
(
z
)
=
ϕ ϕ -->
(
z
)
+
ψ ψ -->
(
z
)
.
{\displaystyle f(z)=\phi (z)+\psi (z).}
|
z
− − -->
c
|
<
R
,
{\displaystyle |z-c|<R,}
|
z
− − -->
c
|
⩽ ⩽ -->
r
{\displaystyle |z-c|\leqslant r}
1
R
=
lim sup
n
→ → -->
∞ ∞ -->
|
a
n
|
1
n
,
{\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}},}
r
=
lim sup
n
→ → -->
∞ ∞ -->
|
a
− − -->
n
|
1
n
.
{\displaystyle r=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{-n}|^{\frac {1}{n}}.}
Szereg Laurenta jest zbieżny w pierścieniu
r
<
|
z
− − -->
c
|
<
R
.
{\displaystyle r<|z-c|<R.}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
analityczna w tym pierścieniu, to daje się przedstawić w postaci szeregu Laurenta a współczynniki
a
n
{\displaystyle a_{n}}
całki krzywoliniowej wzorem
a
n
=
1
2
π π -->
i
∮ ∮ -->
γ γ -->
f
(
z
)
d
z
(
z
− − -->
c
)
n
+
1
.
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.}
gdzie
γ γ -->
{\displaystyle \gamma }
wnętrza (obiegającą punkt
c
{\displaystyle c}
f
(
z
)
=
z
2
e
1
z
,
c
=
0
{\displaystyle f(z)=z^{2}e^{\frac {1}{z}},\;c=0}
Korzystamy z rozwinięcia w szereg funkcji eksponencjalnej :
e
w
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
w
n
n
!
,
w
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle e^{w}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {w^{n}}{n!}},\;w\in \mathbb {C} }
z
2
e
1
z
=
z
2
(
1
+
1
z
+
1
2
!
z
2
+
1
3
!
z
3
+
… … -->
)
=
{\displaystyle z^{2}e^{\frac {1}{z}}=z^{2}(1+{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2!z^{2}}}+{\frac {1}{3!z^{3}}}+\ldots )=}
=
z
2
+
z
+
1
2
!
+
1
3
!
z
+
… … -->
+
1
(
n
+
2
)
!
z
n
+
… … -->
,
z
∈ ∈ -->
C
∖ ∖ -->
{
0
}
.
{\displaystyle =z^{2}+z+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!z}}+\ldots +{\frac {1}{(n+2)!z^{n}}}+\ldots ,\quad z\in \mathbb {C} \backslash \{0\}.}
Pierwsze trzy składniki stanowią część regularną szeregu, kolejne składają się na część osobliwą.
Przypisy
