Spirala Fermata

Spirala Fermata, spirala paraboliczna – krzywa na płaszczyźnie, będąca uogólnieniem spirali Archimedesa. Ma tę właściwość, że pole powierzchni zawarte pomiędzy dwoma kolejnymi pełnymi zwojami spirali jest stałe. W rezultacie odległość między zwojami maleje, w przeciwieństwie do spirali Archimedesa (dla której ta odległość jest stała) i spirali logarytmicznej (dla której odległość między zwojami spirali jest proporcjonalna do ich odległości od środka).

Spirala Fermata jest tak nazwana na cześć Pierre’a de Fermata.

Spirala Fermata znalazła zastosowanie w modelowaniu wzrostu roślin i kształtów niektórych galaktyk spiralnych, a także w projektowaniu kondensatorów o zmiennych pojemnościach, luster słonecznych i cyklotronów.

Współrzędne biegunowe

Jedna gałąź spirali Fermata, obracającej się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, dana równaniem $r=+a{\sqrt {\varphi }},a>0$

(I) We współrzędnych biegunowych spirala Fermata obracająca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dana jest równaniami:

{\begin{cases}r=+a{\sqrt {\varphi }}\\r=-a{\sqrt {\varphi }}\end{cases}}

gdzie $\varphi \in <0,+\infty ),$ $a$ – stały parametr spirali: im większa jego wartość, tym większa odległość między zwojami spirali, przy czym: (1) gdy $a>0,$ to pierwsze równania opisuje gałąź spirali jak na rysunku obok, zaś drugie równanie opisuje drugą gałąź (por. rysunek górny); (2) gdy $a<0,$ to ramiona są zamienione miejscami.

(II) Podobnie, we współrzędnych biegunowych spirala Fermata obracająca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara dana jest równaniami:

{\begin{cases}r=+a{\sqrt {-\varphi }}\\r=-a{\sqrt {-\varphi }}\end{cases}}

gdzie $\varphi \in (-\infty ,0>),$ $a$ – stały parametr spirali.

Współrzędne kartezjańskie

Przechodząc od równania we współrzędnych biegunowych do równania we współrzędnych kartezjańskich za pomocą przekształceń:

{\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}

równanie parametryczne jednej gałęzi spirali Fermata obracającej się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przyjmuje postać:

{\begin{cases}x(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\sin(\varphi )\end{cases}}

a równanie drugiej gałęzi przyjmie postać:

{\begin{cases}x(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\sin(\varphi )\end{cases}}

przy czym $\varphi \in <0,+\infty )$ – kąt, $a$ – stały parametr spirali.

Dla spirali obracającej się zgodnie z ruchem wskazówek zegara równania są analogiczne.

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fermat’s Spiral, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Online exploration using JSXGraph (JavaScript)

Encyklopedie internetowe (generalized Archimedean spiral):

Britannica: topic/Fermats-spiral

Read other articles:

Antonio Puppio

Italian cyclist (born 1999) Antonio PuppioPuppio at the 2017 UCI Road World ChampionshipsPersonal informationBorn (1999-04-18) 18 April 1999 (age 24)Samarate, ItalyHeight1.86 m (6 ft 1 in)Weight75 kg (165 lb)Team informationDisciplineRoadRoleRiderAmateur teams2012–2013San Macario Valerio Biolo2014–2015TeamPro Bike Junior2016Bustese Olonia2018Viris L&L–Sisal–Matchpoint Professional teams2018Cofidis (stagiaire)2019–2020Kometa Cycling Team2021Team Qhub...

kriosfer

Kriosfer. Kriosfer (berasal dari bahasa Yunani Kuno κρύος cryos dingin, beku atau es dan σφαῖρα sphaira, bola[1]) adalah istilah yang merujuk kepada bagian dari permukaan Bumi yang mengandung air dalam bentuk padat, seperti es laut, es danau, es sungai, salju, glasier, tudung es dan lapisan es, serta tanah beku (yang mencakup permafrost).[2] Dengan demikian, kriosfer bertumpang tindih dengan hidrosfer. Kriosfer memainkan peran penting dalam iklim global karena pros...

E.J. Corey

Elias CoreyLahir12 Juli 1928 (umur 95)Methuen, Massachusetts, Amerika SerikatKebangsaanAmerika SerikatDikenal atasRetrosynthetic analysisPenghargaanPenghargaan Wolf dibidang kimia (1986)Japan Prize (1989)Penghargaan Nobel bidang Kima (1990)Medali Priestley (2004)Karier ilmiahBidangKimia organik Elias James Corey (lahir 12 Juli 1928 dengan nama William Corey) ialah seorang kimiawan berkebangsaan Amerika Serikat keturunan Lebanon. Ia menerima Nobel Kimia pada tahun 1990 untuk pengembangan...

دوري أبطال أوروبا 2004–05

دوري أبطال أوروبا 2004–2005تفاصيل المسابقةالتواريخ14 سبتمبر 2004 - 25 مايو 2005الفرق32 (دور المجموعات)72 (المجموع)المراكز النهائيةالبطل ليفربولالوصيف ميلانإحصائيات المسابقةالمباريات الملعوبة205الأهداف المسجلة565 (2٫76 لكل مباراة)أفضل هداف رود فان نستلروي (8 أهداف) (مانشستر يونايت...

Butet Manurung

Ini adalah nama Batak Toba, marganya adalah Manurung. Saur Marlina ManurungMAAPDLahirSaur Marlina Manurung21 Februari 1972 (umur 52)Jakarta, IndonesiaKebangsaanIndonesiaNama lainButet ManurungWarga negaraIndonesiaAlmamater Universitas Padjajaran Universitas Nasional Australia University of Amsterdam PekerjaanAktivis, antropologTahun aktif1999 - SekarangDikenal atasPerintis dan pelaku pendidikan alternatif bagi masyarakat terasing dan terpencil di Indonesia Saur Marlina Manurung...

Congrès de Berlin

Pour les articles homonymes, voir Congrès (homonymie). Ne doit pas être confondu avec Conférence de Berlin (homonymie). Le congrès des Nations, ou congrès de Berlin, est une conférence diplomatique tenue à Berlin, du 13 juin au 13 juillet 1878, par les représentants des puissances européennes, à la suite des efforts de Benjamin Disraeli pour réviser le traité de San Stefano. Comparaison entre les dispositions du traité de San Stefano et celles négociées au congrès de Berlin. ...

Karl-Eduard von Schnitzler

Karl-Eduard von SchnitzlerKarl-Eduard von Schnitzler (1956)Lahir28 April 1918Dahlem (Berlin), JermanMeninggal20 September 2001(2001-09-20) (umur 83)Zeuthen, Brandenburg, JermanKebangsaanJermanPekerjaanJurnalisPresenter televisiPartai politikSEDSuami/istriMarlis Hoeres (1940)Inge Keller (1952)Christine Laszar (1958)Marta Rafael (1960)AnakStephan (von) SchnitzlerBarbara SchnitzlerKarin SchnitzlerOrang tuaJulius Eduard von Schnitzler Karl-Eduard von Schnitzler (28 April 1918 –&#...

Willi Münzenberg

Willi Münzenberg (1936) Gedenktafel für Willi Münzenberg in der Augustinerstraße in Erfurt (2017) Wilhelm „Willi“ Münzenberg (* 14. August 1889 in Erfurt; † Juni 1940 in Saint-Marcellin, Département Isère, Frankreich) war ein deutscher Politiker (KPD), Verleger und Filmproduzent. Mit dem Neuen Deutschen Verlag, den Zeitungen Welt am Abend, Berlin am Morgen und vor allem der Arbeiter-Illustrierten-Zeitung (A-I-Z), gehörte Münzenberg zu den einflussreichsten Vertretern der KPD de...

Enniskerry

Village in County Wicklow, Ireland Village in Leinster, IrelandEnniskerry Áth na SceireVillageSaint Patrick's churchEnniskerryLocation in IrelandCoordinates: 53°11′34″N 6°10′14″W / 53.192768°N 6.170465°W / 53.192768; -6.170465CountryIrelandProvinceLeinsterCountyCounty WicklowElevation91 m (299 ft)Population (2022)2,008Irish Grid ReferenceO220174Websitewww.enniskerry.ie Enniskerry (historically Annaskerry, from Irish: Áth na Sceire, meaning ...

Combat de Benavente

Pour les articles homonymes, voir Benavente (homonymie). Combat de Benavente Les hussards britanniques à Benavente, le 29 décembre 1808, par William Barnes Wollen. Informations générales Date 29 décembre 1808 Lieu Benavente, Espagne Issue Victoire britannique Belligérants France Royaume-Uni Commandants Charles Lefebvre-Desnouettes Henry Paget Forces en présence 550 hommes 600 hommes Pertes 30 tués 25 blessés70 prisonniers[note 1] 50 tués ou blessés[1] Guerre d'EspagneBatailles Cam...

Boxing at the 2014 Commonwealth Games – Super heavyweight

Boxing competitions Boxing – Super heavyweight at the 2014 Commonwealth GamesVenueScottish Exhibition and Conference CentreDates25 July – 2 August 2014Competitors14 from 14 nationsMedalists Joseph Joyce England Joseph Goodall Australia Mike Sekabembe Uganda Efe Ajagba Nigeria← 20102018 → Boxing at the2014 Commonwealth GamesLight flyweightmenFlyweightmenwomenBantamweightmenLightwe...

Pengepungan Bukhara

Pengepungan BukharaBagian dari Penaklukan Kekaisaran Khwarazmia oleh MongolTanggalFebruari 1220LokasiBukhara, kini Uzbekistan39°46′40″N 64°24′37″E / 39.77778°N 64.41028°E / 39.77778; 64.41028Koordinat: 39°46′40″N 64°24′37″E / 39.77778°N 64.41028°E / 39.77778; 64.41028Hasil Kemenangan MongolPihak Kekaisaran Mongol Kekaisaran KhwarazmiaTokoh dan pemimpin Genghis KhanTolui Gür-KhanKekuatan Jumlah perkiraan modern dari 30.00...

David Farrar (blogger)

New Zealand blogger and pollster For other people named David Farrar, see David Farrar (disambiguation). Not to be confused with David Farrier. David P FarrarFarrar in 2010 at the New Zealand Open Source AwardsBorn (1967-09-11) 11 September 1967 (age 56)NationalityNew ZealanderAlma materUniversity of Otago, Victoria University of WellingtonOccupation(s)Blogger, pollster, political activistWebsitekiwiblog.co.nz David Peter Farrar (born 11 September 1967) is a New Zealand political ac...

Si Gomar

Si GomarIklanSutradaraTan Tjoei HockProduserThe Teng ChunPemeran Hadidjah Tan Tjeng Bok Mohamad Mochtar Penata musikMas SardiPerusahaanproduksiJava Industrial FilmTanggal rilis September 1941 (1941-09) (Hindia Belanda) NegaraHindia BelandaBahasaIndonesia Si Gomar adalah film tahun 1941 dari Hindia Belanda yang ditulis dan disutradarai Tan Tjoei Hock dan diproduseri The Teng Chun. Film yang dibintangi Hadidjah, Mohamad Mochtar, dan Tan Tjeng Bok ini mengisahkan perjalanan kakak ...

USS Greenfish (SS-351)

Về những tàu chiến Brazil khác mang cùng tên, xin xem Amazonas (tàu chiến Brazil). Tàu ngầm USS Greenfish (SS-351) vào khoảng thập niên 1960 Lịch sử Hoa Kỳ Tên gọi USS GreenfishĐặt tên theo cá tuyết Murray[1]Xưởng đóng tàu Electric Boat Company, Groton, Connecticut[2]Đặt lườn 29 tháng 6, 1944 [2]Hạ thủy 21 tháng 12, 1945 [2]Người đỡ đầu bà Thomas J. DoyleNhập biên chế 7 tháng 6, 1946 [2...

Petaling District

For other uses, see Petaling (disambiguation). For the federal constituency formerly represented in the Dewan Rakyat, see Petaling (federal constituency). District of Malaysia in SelangorPetaling District District of MalaysiaDaerah PetalingOther transcription(s) • Jawiڤتاليڠ‎ • Chinese八打灵县 • Tamilபெட்டாலிங்Location of Petaling District in SelangorPetaling DistrictLocation of Petaling District in MalaysiaCoordinat...

1946 في إسبانيا

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018) 1946 في إسبانيامعلومات عامةالسنة 1946 البلد إسبانيا 1945 في إسبانيا 1947 في إسبانيا تعديل - تعديل مصدري - تعديل وي...

Claw Money

American fashion designer and artist This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (May 2011) (Learn how and when to remove this message) Claudia Claw Money GoldClaw Money in 2012BornFresh Meadows, QueensOccupation(s)Artist, fashion designerYears active1980s–presentWebsiteclawmoney.com Claw Money (born Claudia Gold[1] in 1968, New York City) i...

Yetzirah

Third of four worlds in the Kabbalistic Tree of Life See also: Sefer Yetzirah The Four Worlds in Kabbalah AK Atziluth Beri'ah Yetzirah Assiah vte Yetzirah wheel Yetzirah (also known as Olam Yetsirah, עוֹלָם יְצִירָה in Hebrew) is the third of four worlds in the Kabbalistic Tree of Life, following Atziluth and Beri'ah and preceding Assiah. It is known as the World of Formation. Yetzirah as in formation is as opposed to Beriah as in creation: actually taking whatever matter that w...

Rule of Saint Augustine

Document that outlines religious life of oldest monastic rule in the Western Church Saint Augustine surrounded by Augustinian monks (Paduan school, 15th century), relief in the portal tympanum of the former Augustinian convent of Santo Stefano in Venice. The book inscription is the beginning of the Rule of Saint Augustine: ANTE O[MN]IA FRATRES CARISSIMI DILIGATVR DEVS DEINDE PROXIMVS QVIA ISTA PR[A]ECEPTA SVNT N[O]B[IS] DATA - First of all, most beloved brothers, God shall be loved, thereafte...