Specjalna grupa unitarna stopnia ${\displaystyle n}$ oznaczana symbolem ${\displaystyle SU(n)}$ jest grupą Liego specjalnych macierzy unitarnych ${\displaystyle U}$ o wyznaczniku równym 1. (Macierze unitarne mają w ogólności wyznacznik zespolony postaci ${\displaystyle e^{i\phi },}$ czyli liczbę o module 1).

Istnieją różne reprezentacje danej grupy ${\displaystyle SU(n),}$ tworzone przez specjalne macierze unitarne tego samego wymiaru. Przy czym:

(1) Reprezentacja fundamentalna grupy ${\displaystyle SU(n)}$ składa się z macierzy wymiaru ${\displaystyle n\times n.}$

(2) Inne reprezentacje grupy ${\displaystyle SU(n)}$ składają się z macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego lub większego niż ${\displaystyle n,}$ jednakże ich generatory muszą spełniać te same relacje komutacyjne, jak generatory reprezentacji fundamentalnej (dokładniej objaśniono to dalej).

Działaniem w grupie macierzy (dla danej reprezentacji) jest mnożenie macierzy przez siebie, elementem neutralnym mnożenia jest macierz jednostkowa (dla reprezentacji fundamentalnej jest to macierz ${\displaystyle n\times n}$). Liczba parametrów opisująca macierze grupy ${\displaystyle SU(n)}$ – niezależnie od reprezentacji – wynosi ${\displaystyle n^{2}-1.}$ Każdą specjalną macierz unitarną grupy ${\displaystyle SU(n)}$ dowolnego wymiaru można bowiem przedstawić za pomocą eksponenty zależnej od najwyżej ${\displaystyle n^{2}-1}$ parametrów

${\displaystyle U(n,{\vec {\alpha }})=\exp \left({i\sum _{a=1}^{n^{2}-1}\alpha _{a}T_{a}}\right)=e^{i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {T}}},}$

gdzie:

${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n^{2}-1})}$ jest ${\displaystyle n^{2}-1}$ wymiarowym wektorem parametrów rzeczywistych,

${\displaystyle {\vec {T}}=(T_{1},T_{2},\dots ,T_{n^{2}-1})}$ jest wektorem liniowo niezależnych macierzy hermitowskich o śladzie równym zeru; macierze ${\displaystyle T_{a}}$ nazywa się generatorami grupy ${\displaystyle SU(n),}$

przy czym wymiar generatorow macierzy wymiaru ${\displaystyle m}$ jest także równy ${\displaystyle m.}$

Grupę ${\displaystyle SU(n)}$ definiują związki komutacji (omówiono to dalej), jakie istnieją pomiędzy generatorami jej reprezentacji fundamentalnej. Przy tym związki komutacyjne np. dla grupy ${\displaystyle SU(2)}$ są inne niż dla ${\displaystyle SU(3),}$ itd. Generatory reprezentacji fundamentalnej danej grupy ${\displaystyle SU(n)}$ są macierzami wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ (dla innych reprezentacji generatory są macierzami o mniejszym lub większym wymiarze niż ${\displaystyle n}$). Ponadto, istnieje wiele możliwych wyborów generatorów dla każdej reprezentacji, dlatego zwykle dodatkowo przyjmuje się warunek normalizacji, określający ślady kwadratów generatorów:

${\displaystyle {\text{tr}}[(T_{a})^{2}]={\tfrac {1}{2}}.}$

Każda specjalna macierz unitarna ${\displaystyle U}$ wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ może być przedstawiona w postaci

${\displaystyle U(n)=e^{iH(n)},}$

gdzie:

${\displaystyle H(n)}$ – macierz hermitowska wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ bezśladowa (tzn. jej ślad jest równy 0),

${\displaystyle i}$ – jednostka urojona.

Ponadto, każdą macierz hermitowską bezśladową wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ można wyrazić za pomocą ${\displaystyle n^{2}-1}$ liniowo niezależnych, bezśladowych macierzy hermitowskich ${\displaystyle T_{a}}$ wymiaru ${\displaystyle n\times n,}$ tj.

${\displaystyle H(n)=\sum _{a=1}^{n^{2}-1}{\alpha _{a}T_{a}},}$

gdzie ${\displaystyle T_{a}}$ nazwa się generatorami; generatory tworzą bazę algebry Liego ${\displaystyle su(n).}$

Macierze unitarne ${\displaystyle U}$ mają wyznacznik równy 1, co implikuje, że macierze ${\displaystyle T_{a}}$ muszą być bezśladowe, gdyż:

${\displaystyle \det U=1\quad {\text{oraz }}}$${\displaystyle \det U=\det(e^{H})=e^{\operatorname {tr} (H)},}$

co implikuje ${\displaystyle \operatorname {tr} (H)=0.}$

Generatory są na ogół nieprzemienne – wyniki ich mnożenia tworzą tzw. reguły komutacji, tj. dla liczb ${\displaystyle a,b=1,2,\dots ,n}$ komutatory są w postaci kombinacji liniowych

${\displaystyle [T_{a},T_{b}]=i\sum _{c}\,f_{abc}T_{c},}$

gdzie:

${\displaystyle [T^{a},T^{b}]=T^{a}T^{b}-T^{b}T^{a}}$ – komutator,

${\displaystyle f_{abc},a,b,c=1,2,\dots ,n}$ – tzw. stałe struktury grupy.

Relacje komutacji (lub równoważnie: stałe struktury) definiują algebrę Liego ${\displaystyle su(n)}$ danej grupy ${\displaystyle SU(n).}$

Wybór generatorów nie jest unikalny; np. z danego zbioru generatorów można otrzymać inny zbiór generatorów za pomocą transformacji podobieństwa, ponieważ transformacja ta nie zmienia komutatorów.

Przy czym macierz ${\displaystyle B'}$ nazywa się podobną do macierzy ${\displaystyle B,}$ jeżeli

${\displaystyle B'=U^{\dagger }BU,}$

gdzie ${\displaystyle U}$ jest macierz unitarną, zaś ${\displaystyle U^{\dagger }}$ jest jej sprzężeniem hermitowskim.

Ponadto, te same reguły komutacji mogą spełniać macierze innego wymiaru niż dany wymiar ${\displaystyle n.}$ Macierze te są generatorami reprezentacji niefundamentalnych tej samej grupy ${\displaystyle SU(n).}$

Grupę ${\displaystyle SU(n)}$ definiuje więc

• postać generatorów reprezentacji fundamentalnej (zwanej także definiującą), tj. postać generatorów reprezentowanych przez macierze wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ albo
• wartości numeryczne stałych struktury ${\displaystyle f_{abc}.}$

Są to metody równoważne: znając jawną postać generatorów reprezentacji fundamentalnej można wyliczyć stałe struktury i odwrotnie, znając stałe struktury można obliczyć jawną postać generatorów nie tylko w reprezentacji fundamentalnej, ale w dowolnej reprezentacji grupy ${\displaystyle SU(n).}$

Inne reprezentacje grupy ${\displaystyle SU(n)}$ otrzymuje się za pomocą generatorów, które są macierzami wymiaru innego niż ${\displaystyle n,}$ tj. wymiaru ${\displaystyle 1,2,\dots ,n+1,n+2,\dots }$ przy czym warunkiem jest, by generatory spełniały te same warunki komutacyjne co generatory reprezentacji fundamentalnej.

Np. grupa ${\displaystyle SU(2)}$ ma reprezentację fundamentalną zadaną przez macierze ${\displaystyle 2\times 2}$ (macierze Pauliego, które mnożone przez ${\displaystyle 1/2\hbar }$ definiują operatory spinu o liczbie spinowej ${\displaystyle s=1/2}$), jednak innymi reprezentacjami tej samej grupy są macierze wymiaru ${\displaystyle 2s+1=3,4,5,\dots ,}$ odpowiadające liczbom spinowym ${\displaystyle s=1,\,3/2,\,2,}$ itd.

Specjalna grupa unitarna jest podgrupą grupy macierzy unitarnych ${\displaystyle U(n),}$ które zachowują iloczyn skalarny, definiowany w przestrzeniach zespolonych ${\displaystyle C^{n}.}$ Grupa ${\displaystyle U(n)}$ jest z kolei podgrupą ogólnej grupy transformacji liniowych ${\displaystyle GL(n,{\mathbb {C} })}$ określonej nad ciałem liczb zespolonych.

Grupa ${\displaystyle SU(n)}$ jest izomorficzna z grupą kwaternionów o normie 1 i dlatego dyfeomorficzna do 3-sfery. Ponieważ jednostkowe kwaterniony mogą reprezentować obroty w przestrzeni 3-wymiarowej (z dokładnością do znaku), to istnieje homeomorfizm z ${\displaystyle SU(2)}$ do grupy obrotów ${\displaystyle SO(3),}$ którego jądro jest ${\displaystyle [+I,-I].}$ Grupa ${\displaystyle SU(2)}$ jest także identyczna z grupą symetrii spinorów ${\displaystyle Spin(3).}$

Grupy ${\displaystyle SU(n)}$ znalazły zastosowanie w sformułowaniu Modelu Standardowego cząstek elementarnych:

• ${\displaystyle SU(2)}$ – w opisie oddziaływań elektrosłabych,
• ${\displaystyle SU(3)}$ w opisie oddziaływań silnych w chromodynamice kwantowej.

Specjalna grupa unitarna ${\displaystyle SU(n)}$ jest rzeczywistą grupą Liego, tj. jest grupą ciągłą i rozmaitością różniczkową o wartościach rzeczywistych, mającą wymiar ${\displaystyle n^{2}-1.}$ Topologicznie jest to rozmaitość zwarta.

Grupa ${\displaystyle SU(1)}$ przedstawia grupę trywialną, posiadającą jeden element – jest nim macierz jednostkowa ${\displaystyle I=[1].}$

Omawia to osobny artykuł Grupa SU(2).

Grupa ${\displaystyle SU(3)}$ jest rozmaitość różniczkową wymiaru 8, jednospójną i zwartą; jako grupa jest grupą Liego.

Algebra Liego ${\displaystyle su(3)}$ związana z grupą Liego ${\displaystyle SU(3)}$ posiada ${\displaystyle 3^{2}-1=8}$ generatorów ${\displaystyle T_{a},a=1,2,\dots ,8.}$ Dla reprezentacji fundamentalnej generatory te mają postacie

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}},}$

gdzie ${\displaystyle \lambda _{a}}$ są macierzami Gell-Mann’a (będącymi analogami macierzy Pauliego):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\&\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\&\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Macierze te rozpinają przestrzeń macierzy hermitowskich bezśladowych, która jest algebrą Liego su(3). Macierze ${\displaystyle \lambda _{2},\lambda _{5},\lambda _{7}}$ mają elementy urojone.

Powyższe generatory ${\displaystyle T_{a},a=1,2,\dots ,8}$ implikują

a) reguły komutacyjne

${\displaystyle [T_{a},T_{b}]=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},}$

b) reguły antykomutacyjne

${\displaystyle \{T_{a},T_{b}\}={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c}}$

lub równoważnie

${\displaystyle \{\lambda _{a},\lambda _{b}\}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.}$

Ze związków komutacyjnych wynika, że stałe struktury ${\displaystyle f_{abc}}$ algebry ${\displaystyle su(3)}$ są zupełnie antysymetryczne, tzn. zmieniają znak przy przestawieniu dowolnych dwóch indeksów i mają wartości:

${\displaystyle f_{123}=1,}$

${\displaystyle f_{147}=f_{516}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=f_{637}={\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle f_{458}=f_{678}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$

Pozostałe stałe o indeksach nie należących do powyższych permutacji zerują się. W ogólności stałe te zerują się, gdy zawierają nieparzystą liczbę indeksów ze zbioru {2, 5, 7}.

Ze związków antykomutacyjnych wynika, że stałe ${\displaystyle d_{abc}}$ są symetryczne ze względu na przestawienie dowolnych wskaźników i mają wartości:

${\displaystyle d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}},}$

${\displaystyle d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}},}$

${\displaystyle d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}={\frac {1}{2}}.}$

Stałe zerują się, gdy liczba indeksów ze zbioru {2, 5, 7} jest nieparzysta.

Ślad kwadratów macierzy Gell-Manna wynosi 2, tj.

${\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{a}\lambda _{b})=2\delta _{ab},}$

gdzie ${\displaystyle \delta _{ab}}$ - delta Kronekera. Jest tak dlatego, że macierze Pauliego są „wbudowane” w macierze Gell Manna (możliwa byłaby normalizacja śladu do 1).

Stąd wynika, że generatory są unormowane tak, że

${\displaystyle {\text{tr}}(T_{a})^{2}={\frac {1}{2}}.}$

Dowód (korzystamy z własności śladu):

${\displaystyle {\text{tr}}(T_{a})^{2}={\text{tr}}\left({\frac {\lambda _{a}}{2}}{\frac {\lambda _{a}}{2}}\right)={\text{tr}}\left({\frac {1}{4}}\lambda ^{2}\right)={\frac {1}{4}}{\text{tr}}(\lambda ^{2})={\frac {1}{4}}\cdot 2={\frac {1}{2}}.}$

Istnieją trzy podalgebry su(2) algebry su(3)

• ${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\},}$
• ${\displaystyle \{\lambda _{4},\lambda _{5},x\}}$ oraz
• ${\displaystyle \{\lambda _{6},\lambda _{7},y\}.}$

Suma kwadratów macierzy Gell Manna jest tzw. operatorem Casimira, który jest jednym z niezmienników algebry su(3)

${\displaystyle C=\sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}\cdot I,}$

gdzie ${\displaystyle I}$ jest macierzą jednostkową 3×3.

Analogicznie definiuje się sześcienny operator Casimira, który też jest niezmiennikiem grupy.

Ogólny element grupy SU(3) generowany przez bezśladową macierz hermitowską ${\displaystyle H}$ wymiaru 3×3, taką że ${\displaystyle {\text{tr}}(H^{2})=2}$ można wyrazić za pomocą wielomianu 2-go rzędu macierzy ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)&=\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[4pt]&+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[4pt]&+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}},\end{aligned}}}$

gdzie:

${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$

Macierz Gell-Manna służą do opisu symetrii kolorowej pola gluonowego, które powstaje z cechowania pola kwarkowego. Faza ${\displaystyle \theta ^{a}({\mathbf {r} },t),a=1,\dots ,8}$ pola gluonowego ${\displaystyle U}$ musi mieć lokalną symetrię czasoprzestrzenną opisaną grupą SU(3), gdzie ${\displaystyle U=\exp(i\sum _{a=1}^{8}\theta ^{a}({\mathbf {r} },t)\lambda _{a}/2).}$

Grupa jest abstrakcyjnym zbiorem obiektów o określonych własnościach. Reprezentacją macierzową grupy ${\displaystyle G}$ nazywa się przekształcenie zachowujące strukturę grupową, czyli homomorfizm grupy w zbiór macierzy kwadratowych ${\displaystyle D}$ takie, że

${\displaystyle D(g_{1}\circ g_{2})=D(g_{1})\cdot D(g_{2}),}$

gdzie ${\displaystyle \circ }$ oznacza działanie grupowe, a kropka mnożenie macierzy.

A więc zbiór macierzy ${\displaystyle D(g_{i})}$ tworzy grupę.

Reprezentację grupy G nazywa się wierną i równoważną, kiedy przekształcenie elementów grupy w zbiór macierzy jest izomorfizmem, czyli przekształceniem wzajemnie jednoznacznym. Wówczas reprezentacja ma następujące własności:

${\displaystyle D(e)=1,}$

${\displaystyle D(g\circ g^{-1})=D(g)\cdot D(g^{-1})=1,}$

to znaczy:

• element neutralny grupy przechodzi w macierz jednostkową,
• element odwrotny do ${\displaystyle g}$ jest reprezentowany przez macierz odwrotną do ${\displaystyle D(g).}$

Grupy transformacji

• grupa Lorentza
• grupa obrotów
• grupa SU(2)

Pojęcia powiązane

• algebra Liego
• grupa Liego
• reprezentacja grupy
• symetria unitarna
• teoria grup

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ISBN 978-0471569527.
• David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press, 2008.
• Thanu Padmanabhan, Quantum Field Theory: The Why, What and How, Springer, Heidelberg 2016.

• S. Mrówczyński, Grupa SU(N) i jej reprezentacje
• A. Trautman, Grupy oraz ich reprezentacje oraz ich zastosowania w fizyce
• C. Koerber, Lie Algebra Representation Theory – SU(3)-Representations in Physics