PROFILPELAJAR.COM

Przestrzeń fazowa (przestrzeń stanów) – wielowymiarowa przestrzeń przypisana do danego układu dynamicznego, przy czym osie współrzędnych reprezentują różne wielkości fizyczne w różnych działach fizyki (mechanika klasyczna, termodynamika, fizyka statystyczna, mechanika kwantowa, itd.).

W mechanice współrzędnymi przestrzeni fazowej są współrzędne położeń i pędów poszczególnych części układu mechanicznego. Np. dla cząstki poruszającej się w jednym kierunku przestrzeń stanów ma dwa wymiary, odpowiadające położeniu i prędkości cząstki (por. animacja ruchu ciała na sprężynie, oscylator Duffinga).

Jeżeli układ zmienia swój stan w czasie, to kreśli w przestrzeni stanów krzywą zwaną trajektorią, krzywą fazową lub orbitą. Jeżeli znany jest stanu układu w wybranej chwili początkowej, to na podstawie równań ruchu, opisujących dany układ fizyczny, można przewidzieć zmianę stanu układu z upływem czasu.

Koncepcja przestrzeni stanów rozwinęli w późnych latach XIX wieku Ludwig Boltzmann, Henri Poincaré oraz Josiah Willard Gibbs.

Fizyka klasyczna

Mechanika

Stan pojedynczej cząstki punktowej w przestrzeni trójwymiarowej jest określony przez współrzędne wektora położenia ${\vec {r}}=(x,y,z)$ i współrzędne wektora pędu ${\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})$ cząstki; przestrzeń fazowa pojedynczej cząstki swobodnej jest więc $6$ -wymiarowa.

Jeżeli układ ma $N$ cząstek swobodnych, to przestrzeń fazowa jest $6N$ -wymiarowa. Np. dla 1 mola gazu rzeczywistego wymiar przestrzeni stanów możemy oszacować w następujący sposób: przy 1 molu gazu (w przybliżeniu 6×10²³ cząstek), zadając dla każdej cząstki kolejno 3 wymiary związane z jej położeniem, 3 ze składowymi prędkości wzdłuż każdej osi, a także wymiary związane z drganiami cząsteczki, jej obrotami w przestrzeni, jak i obrotami składowych elementów cząstki wokół osi wiązania, otrzymujemy zestaw wymiarów w przestrzeni rzędu 10²⁴ – 10²⁵.

W ogólności, jeżeli układ ma $f$ stopni swobody, to przestrzeń fazowa jest $2f$ -wymiarowa, przy czym $f$ osi reprezentuje współrzędne uogólnione $q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f})$ oraz $f$ osi reprezentuje pędy uogólnione $p=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{f})$ . W ogólności osie przestrzeni fazowej reprezentują tzw. współrzędne uogólnione i pędy uogólnione^[1]. W przypadku nałożenia więzów na części układu liczba wymiarów przestrzeni fazowej zmniejsza się.

Własności trajektorii

Ze znajomości położeń i prędkości poszczególnych części układu w chwili początkowej oraz ze znajomości sił działających na układ można wyliczyć stan układu w dowolnej chwili w przyszłości i przeszłości poprzez rozwiązanie równania ruchu układu. Z równań klasycznej fizyki wynika, że ewolucja układu jest w pełni zdeterminowana. Ruchowi takiego układu odpowiada w przestrzeni fazowej trajektoria złożona z kolejnych stanów, jakie układ zajmował lub będzie zajmował z upływem czasu. Własnością trajektorii deterministycznych jest, że wzajemnie się nie przecinają, choć mogą zbiegać się do wspólnego punktu.

Z kształtu trajektorii można poznać różne własności układu, co jest szczególnie przydatne w analizie układów złożonych.

Tw. Liouville’a

Gdy stan układu jest opisany za pomocą współrzędnych położenia i prędkości, to trajektorie w przestrzeni fazowej spełniają twierdzenie, mówiące że objętość dowolnego regionu przestrzeni fazowej nie zmienia się w trakcie jego ewolucji, o ile nie następują straty energii.

Termodynamika i mechanika statystyczna

W termodynamice i mechanice statystycznej opisywanie położenia i prędkości każdej cząstki jest niewykonalne, dlatego używa się przestrzeni definiowanej przez makroskopowe parametry układu, takie jak ciśnienie i temperatura (lub ciśnienie i objętość itd.). Punkt takiej przestrzeni określa się jako makrostan.

Przestrzeń fazowa w fizyce kwantowej

W fizyce kwantowej w ujęciu kopenhaskim nie przypisuje się układom fizycznym żadnych trajektorii, co prowadzi do paradoksu pomiaru.

W teorii fali pilotującej de Broglie’a-Bohma układom kwantowym przypisuje się trajektorie deterministyczne: trajektorie te różnią się od trajektorii przewidywanych przez fizykę klasyczną wtedy, gdy pojawiają się efekty kwantowe, takie jak interferencja.

Zobacz też

Inne:

Przypisy

↑ przestrzeń fazowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-01-05] .

Bibliografia

G. Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, s. 429–487.
Wojciech Królikowski, Wojciech Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
F. Reif, Fizyka statystyczna, Warszawa: PWN, 1973.