Moritz Pasch

Moritz Pasch (ur. 8 listopada 1843 roku we Wrocławiu, zm. 20 września 1930 roku w Bad Homburg w Niemczech) – niemiecki matematyk, uważany za ojca nowego kanonu ścisłości w geometrii.

Życiorys

Pasch studiował na uniwersytecie we Wrocławiu, tam uzyskał stopień doktora, a następnie wykładał na uniwersytecie w Gießen. Zajmował się badaniem podstaw geometrii. W wydanym w roku 1882 swym głównym dziele Vorlesungen über neue Geometrie (Wykłady o nowej geometrii)[1] podał przykład prawdziwego zdania w geometrii euklidesowej, którego nie da się logicznie wywieść z zestawu aksjomatów podanych w Elementach Euklidesa. Zdanie to, znane jako aksjomat Pascha w geometrii euklidesowej, można sformułować następująco: Prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jeden jego bok, przecina jeszcze drugi; jest to intuicyjnie oczywiste.

Pasch sformułował też potrzebę wyraźnego wyodrębnienia pojęć pierwotnych w geometrii; nazwał je Grundbegriff (pojęcie podstawowe), a w III wydaniu swej książki (1926) zmienił to na Kernbegriff.

Inną luką w aksjomatyce Euklidesa odkrytą przez Pascha był brak pojęcia pierwotnego relacji leżenia między dla trzech różnych punktów A, B, C leżących na jednej prostej. Zaliczył to do pojęć niezdefiniowanych i podał aksjomaty.

W opinii Pascha to, że niezależność jego aksjomatu od aksjomatów Euklidesa przez dwa tysiące lat uchodziła uwadze geometrów, dowodzi, iż wszyscy oni opierali się na intuicji pojęcia odcinka wyniesionej z doświadczenia. Sformułował program: zerwanie z odwoływaniem się do intuicji w dowodach. Stwierdził, że jakkolwiek intuicyjny sens rozważanych pojęć bywa użyteczny (sam w swym dziele ilustrował prowadzone wywody diagramami), rozumowanie musi być tak napisane, aby można było sprawdzić jego poprawność bez odwoływania się do rysunków. Z drugiej strony Pasch uznawał geometrię za część nauk przyrodniczych, w których abstrakcyjne pojęcia geometryczne mają swe źródło empiryczne, twierdził jednak, że od tych źródeł trzeba się oderwać przy dowodzeniu twierdzeń[a][2].

Sformalizowaną wersję aksjomatyki Pascha podał Giuseppe Peano w 1889.

Pasch w swej książce podał też pierwszy system aksjomatyczny geometrii rzutowej opartej na relacji incydencji.

Dalszym po Paschu istotnym krokiem w kierunku zwiększania ścisłości w aksjomatycznym ujęciu geometrii euklidesowej była książka Davida Hilberta Grundlagen der Geometrie (Podstawy geometrii) z 1899 roku.

Uwagi

  1. ↑ W książce Pascha nie pojawia się nieskończona prosta, są jedynie odcinki i ograniczone fragmenty płaszczyzny, uważał bowiem, że figury nieograniczone nie są nam dane w doświadczeniu.

Przypisy

  1. ↑ Niemiecki tekst tego dzieła reprodukowany jest w https://catalog.hathitrust.org/Record/000428827
  2. ↑ Krytyczne omówienie podejścia Pascha przedstawił Hans Freudenthal w artykule The main trends in the foundations of geometry in the 19th century, w: E. Nagel, P. Suppes, A. Tarski (eds), Methodology and Philosophy of Sciences, Proceedings of the 1960 International Congress, Stanford Univ. Press, Stanford CA, 1962, s. 613–621.

Linki zewnętrzne

Read other articles:

Ciranjiwi

Dalam mitologi Hindu, Ciranjiwi (Dewanagari: चिरंजीवि; ,IAST: Ciraṅjīvi, चिरंजीवि) adalah sebutan untuk delapan makhluk abadi (kadangkala Jembawan diikutsertakan sebagai yang kesembilan). Istilah tersebut berasal dari kata ciraṁ (selamanya) dan jivi (hidup).[1] Makhluk-makhluk yang termasuk ciranjiwi disebut abadi dalam pengertian berumur panjang, yaitu sampai akhir Kaliyuga (432.000 tahun) atau satu Manwantara (306.720.000 tahun), bahkan...

 

Strada statale 650 di Fondo Valle Trigno

Strada statale 650di Fondo Valle TrignoDenominazioni precedentiStrada provinciale di Fondo Valle Trigno LocalizzazioneStato Italia Regioni Abruzzo Molise Province Chieti Campobasso Isernia DatiClassificazioneStrada statale InizioSS 17 presso Isernia FineSS 16 presso San Salvo Marina Lunghezza78,400[1] km Provvedimento di istituzioneD.M. del 29/12/1987 - G.U. 20 del 26/01/1988[2] GestoreANAS (1988-) Percorso Manuale La strada statale 650 di Fondo V...

 

نشيد البرتغال الوطني

نشيد البرتغال الوطني (بالبرتغالية: A Portuguesa)‏    البلد البرتغال  اللغة البرتغالية  استمع للنشيد   تعديل مصدري - تعديل   آ بورتوغيسا (بالبرتغالية: A Portuguesa‏) (أو [الأغنية] البرتغالية)، هو النشيد الوطني للبرتغال. تم تلحينه من قبل ألفريدو كيل وتأليف الكلمات من هنري...

فليشمانس (نيويورك)

فليشمانس   الإحداثيات 42°09′08″N 74°31′18″W / 42.1522°N 74.5217°W / 42.1522; -74.5217  [1] تقسيم إداري  البلد الولايات المتحدة[2]  التقسيم الأعلى نيويورك  خصائص جغرافية  المساحة 0.7 ميل مربع  ارتفاع 1520 قدم  عدد السكان  عدد السكان 210 (1 أبريل 2020)[3]  ال�...

 

Gereja Katolik di Gibraltar

Bagian dari seriGereja Katolik menurut negara Afrika Afrika Selatan Afrika Tengah Aljazair Angola Benin Botswana Burkina Faso Burundi Chad Eritrea Eswatini Etiopia Gabon Gambia Ghana Guinea Guinea-Bissau Guinea Khatulistiwa Jibuti Kamerun Kenya Komoro Lesotho Liberia Libya Madagaskar Malawi Mali Maroko Mauritania Mauritius Mesir Mozambik Namibia Niger Nigeria Pantai Gading Republik Demokratik Kongo Republik Kongo Rwanda Sao Tome dan Principe Senegal Seychelles Sierra Leone Somalia Somaliland ...

 

Vovinam

VovinamFlag.Juga dikenal sebagaiViệt Võ Đạo, VVN, VVN-VVDFokusHibridNegara asal VietnamPenciptaNguyễn LộcPraktisi terkenalLe Sang (Grandmaster)Orang tuaSeni bela diri VietnamOlahraga olimpikTidak Artikel ini memuat Teks Vietnam. Tanpa bantuan render yang baik, anda mungkin akan melihat tanda tanya, kotak-kotak, atau simbol lainnya bukannya chữ nôm, chữ Hán dan chữ quốc ngữ. Vovinam (singkatan untuk Võ Việt Nam; bahasa Vietnam: Việt Võ Đạo, Seni bela diri...

Joseph Kosuth

Joseph KosuthLahir31 Januari 1945 (umur 79)Toledo, OhioKebangsaanAmerika SerikatPendidikanSchool of Visual Arts, New York CityDikenal atasSeni konseptual Karya Kosuth Batas-Batas Yang Tidak Terbatas di Queen's Square, Yokohama, Jepang, 1997. Joseph Kosuth (/kəˈsuːt, -ˈsuːθ/; lahir 31 Januari, 1945), seorang seniman konseptual asal Amerika Serikat, tinggal di New York dan London,[1] setelah sebelumnya pernah berpindah-pindah di berbagai kota di Eropa, termasuk Ghent dan Rom...

 

2022 Shanghai COVID-19 outbreak

COVID-19 viral outbreak in Shanghai in 2022 For the whole pandemic since 2020, see COVID-19 pandemic in Shanghai. This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article has an unclear citation style. The references used may be made clearer with a different or consistent style of citation and footnoting. (April 2022) (Learn how and when to remove this message) This article needs to b...

 

KCVM

Radio station in Evansdale, IowaKCVMEvansdale, IowaBroadcast areaWaterloo-Cedar FallsFrequency93.5 MHz (HD Radio)Branding93.5 The MixProgrammingFormatHot adult contemporarySubchannelsHD2: Gold-based country Corn CountryOwnershipOwnerJames Coloff(Coloff Media, LLC)Sister stationsKCNZ, KMCH, KCHA, KCHA-FM, KIOW, KCZEHistoryFirst air dateAugust 27, 1997; 26 years ago (1997-08-27) (at 96.1)Former call signsKAHG (3/1994–7/1994)KZME (1994–1997)Former frequencies96.1 MH...

Novara Calcio 2000-2001

Voce principale: Novara Calcio. Novara CalcioStagione 2000-2001Sport calcio Squadra Novara Allenatore Carlo Garavaglia poi Antonio Varallo poi Stefano Civeriati Presidente Claudio Achilli Serie C216º posto nel girone A. Maggiori presenzeCampionato: Righi (33) Miglior marcatoreCampionato: Gay (6) 1999-2000 2001-2002 Si invita a seguire il modello di voce Divise e sponsor 1ª divisa 2ª divisa Rosa N. Ruolo Calciatore C Graziano Beltrami C Sergio Maria Borgo C Edoardo Braiati C Massimili...

 

BBC Birmingham

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: BBC Birmingham – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2009) (Learn how and when to remove this message) BBC Birmingham BBC UK-wide Television stations programmes Radio stations local BBC Online BBC Red Button Ceefax iPlayer BBC Sounds Managem...

 

Base aérienne de Sigonella

Cet article est une ébauche concernant le domaine militaire, la Sicile et les forces armées des États-Unis. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Base aérienne de SigonellaHistoireFondation 15 juin 1959CadreType Base aérienne militairePays  ItalieCoordonnées 37° 24′ 06″ N, 14° 55′ 20″ EOrganisationSite web www.cnic.navy.mil/Sigonellamodifier - modifier...

Psychologie du sport

Cet article est une ébauche concernant le sport. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations du projet sport. Pour les articles homonymes, voir Psychologie (homonymie). Simon Vroemen, lors du Championnat des Pays-Bas du 3000m steeple La psychologie du sport a pour objet l'étude des aptitudes mentales et psychologiques qui déterminent la performance sportive ou physique, selon les différents contextes (compétition ou coopération, ...

 

Wran ministry (1984)

76th New South Wales government ministry led by Neville Wran Sixth Wran ministry76th Cabinet of Government of New South WalesPremier Neville WranDate formed10 February 1984 (1984-02-10)Date dissolved5 April 1984 (1984-04-05)People and organisationsMonarchQueen Elizabeth IIGovernorSir James RowlandPremierNeville WranDeputy PremierRon MulockNo. of ministers19Member partyLaborOpposition partiesLiberal National coalitionOpposition leaderNick GreinerHistoryPredecessor...

 

Air Malta

Air Malta ИАТАKM ИКАОAMC ПозывнойAir Malta Тип S.r.l.[d] Дата основания 1973 Базовые аэропорты Международный аэропорт Мальты Хабы Мальта Размер флота 8 Пунктов назначения 39 Дочерние компании Azzurra Air Штаб-квартира Мальта Руководство Джозеф Галия Сайт airmalta.com  Медиафайлы на Викискладе Air...

SWiSH Max

The topic of this article may not meet Wikipedia's notability guidelines for products and services. Please help to demonstrate the notability of the topic by citing reliable secondary sources that are independent of the topic and provide significant coverage of it beyond a mere trivial mention. If notability cannot be shown, the article is likely to be merged, redirected, or deleted.Find sources: SWiSH Max – news · newspapers · books · scholar · JSTOR ...

 

Pathway to Adventure Council

Boy Scouts council in Chicago, Illinois, US Pathway to Adventure CouncilOwnerBoy Scouts of AmericaCountryUnited StatesFounded2015Membership9,000 youth6,000 adultsPresidentStephen W. SchwabCouncil CommissionerBertha GuzmanScout ExecutiveJeff Isaac Websitepathwaytoadventure.org Scouting portal Pathway to Adventure Council is a Boy Scouts of America local council headquartered in Chicago, Illinois. Created from the merger of four councils, it now spans over a large portion of Chicago metrop...

 

Lap steel guitar

Type of steel guitar Lap steel guitarFender Champion electric lap steel guitarString instrumentOther namesHawaiian guitar, lap steel, console steel, kīkākila, DobroClassification String instrument, finger pickedHornbostel–Sachs classification(Composite chordophone)Inventor(s)Popularized by Joseph KekukuDeveloped1885Playing range Variable depending on choice of tuning The lap steel guitar, also known as a Hawaiian guitar, is a type of steel guitar without pedals that is typically played wi...

National Amusements

United Turner, Inc.Berkas:United Turner.svgSebelumnyaGreenville Theater Corporation (1936–1959)JenisPrivateIndustriEntertainmentDidirikan1936; 88 tahun lalu (1936) in Dedham, MassachusettsPendiriJim HensonKantorpusatNorwood, Massachusetts, U.S.TokohkunciJim Henson (President)ProdukMovie theatersPemilikShari RedstoneKaryawan23,900 (2017)DivisiShowcase CinemasAnakusahaParamount Global (9.7% equity, 79.9% voting)[1]UCI Cinemas (Brazil)Situs webwww.showcasecinemas.com/corporate-inf...

 

Taichung Martyrs' Shrine

Martyrs' shrine in North, Taichung, Taiwan Taichung Martyrs' Shrine臺中市忠烈祠LocationLocationNorth, Taichung, TaiwanShown within TaichungGeographic coordinates24°09′15.8″N 120°41′28.5″E / 24.154389°N 120.691250°E / 24.154389; 120.691250ArchitectureTypemartyrs' shrine Taichung Martyrs' Shrine gate The Taichung Martyr's Shrine (traditional Chinese: 臺中市忠烈祠; simplified Chinese: 台中市忠烈祠; pinyin: Táizhōng Shì Zhōngli...