Liczba plastikowa [1] [2] [3] [4]
x
3
− − -->
x
− − -->
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-x-1=0}
[1] [5] [4] Hans van der Laan [5] [6] [7]
Długości boków trójkątów równobocznych równe są kolejnym wyrazom ciągu Padovana Jest równa[4]
P
=
108
+
12
69
3
+
108
− − -->
12
69
3
6
=
1,324
7
… … -->
,
{\displaystyle P={\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}=1{,}3247\dots ,}
co odpowiada ułamkowi łańcuchowemu [8]
P
=
1
+
1
3
+
1
12
+
1
1
+
⋱ ⋱ -->
{\displaystyle P=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}
oraz zagnieżdżonemu pierwiastkowi[5]
P
=
1
+
1
+
1
+
… … -->
3
3
3
.
{\displaystyle P={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\dots }}}}}}.}
Liczba plastikowa jest granicą ciągu ilorazów kolejnych wyrazów ciągu Padovana[1]
{
P
0
=
P
1
=
P
2
=
1
P
n
=
P
n
− − -->
2
+
P
n
− − -->
3
,
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}P_{0}=P_{1}=P_{2}=1\\P_{n}=P_{n-2}+P_{n-3}\end{array}}\right.,}
mianowicie
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
P
n
P
n
− − -->
1
=
1,324
7
… … -->
,
{\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}=1{,}3247\dots ,}
natomiast początkowe wyrazy ciągu Padovana to: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12...[9]
Przypisy
↑ a b c Liczby z kruszcu Magazyn Miłośników Matematyki ”. nr 21, s. 25, październik 2007. Wrocław: Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego . ISSN 1643-9481 adresu 2017-06-15]. (pol. ) . ↑ Krystyna Nowicka. Kącik matematyczny. W poszukiwaniu złota, czyli coś o złotej liczbie Politechnika Gdańska . ISSN 1429-4494 (pol. ) . ↑ Agnieszka Frankowska. Ciąg Padovana . „Matematyka w Szkole”. nr 2 (74), s. 22-23, 2014. Gdańsk: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe . ISSN 1507-2800 (pol. ) . ↑ a b c grudzień 2016 . matematyka.wroc.pl. [dostęp 2021-08-29]. (pol. ) .↑ a b c Tito Piezas III, Floor van Lamoen: Plastic Constant . mathworld.wolfram.com. [dostęp 2021-08-29]. (ang. ) . ↑ Jan Aarts, Robbert Fokkink, Godfried Kruijtzer: Morphic numbers . nieuwarchief.nl, marzec 2001. [dostęp 2021-08-29]. (ang. ) . ↑ Richard Padovan - Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number . nexusjournal.com. [dostęp 2021-08-29]. (ang. ) .↑ (ciąg A072117 w OEIS )
↑ Eric W. Weisstein: Padovan Sequence . mathworld.wolfram.com. [dostęp 2021-08-29]. (ang. ) . Najważniejsze stałe
Inne stałe
Tematy powiązane
.png)
![{\displaystyle P={\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}=1{,}3247\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8db30ee5fdc773fddb3ee5073db56af697f713)
![{\displaystyle P={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\dots }}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffbaf7f0aed556e091eb3f2d1ed41f9aa42c47a)
