Całka Birkhoffa

Całka Birkhoffa – jedno z możliwych pojęć całki dla funkcji o wartościach w przestrzeniach Banacha, wprowadzone przez Garretta Birkhoffa w roku 1935^[1]. Pojęcie całkowalności funkcji w sensie Birkhoffa jest silniejsze od całkowalności sensie Pettisa, ale słabsze od całkowalności w sensie Bochnera.

Konstrukcja

Niech $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ będzie zupełną przestrzenią probabilistyczną oraz $X$ będzie przestrzenią Banacha.

Przeliczalną rodzinę $\Gamma \subseteq {\mathcal {A}}$ nazywamy partycją przestrzeni $\Omega$ jeżeli

\bigcup \Gamma =\Omega .

Jeżeli $\Gamma =\{A_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}$ jest partycją przestrzeni $\Omega ,$ to funkcję $f\colon \Omega \to X$ nazywamy sumowalną względem partycji $\Gamma$ (albo $\Gamma$ -sumowalną) jeżeli dla każdego zbioru $A_{n}\in \Gamma$ takiego, że $\mu (A_{n})>0$ funkcja $f\upharpoonright A_{n}$ jest ograniczona oraz zbiór $J(f,\Gamma )$ składa się z szeregów bezwarunkowo zbieżnych, gdzie

J(f,\Gamma )=\left\{\sum _{n=0}^{\infty }f(t_{n})\mu (A_{n})\colon \,t_{n}\in A_{n}\right\}.

Funkcję $f\colon \Omega \to X$ nazywamy całkowalną w sensie Birkhoffa jeżeli dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje partycja $\Gamma =\{A_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}$ zbioru $\Omega$ względem której funkcja $f$ jest sumowalna oraz

{\mbox{diam}}\,J(f,\Gamma )<\varepsilon .

Twierdzenie Birkhoffa: Jeżeli $f\colon \Omega \to X$ jest całkowalna w sensie Birkhoffa, to

\left|\bigcap \left\{{\mbox{cl conv}}J(f,\Gamma )\colon \,f{\mbox{ - }}\Gamma {\mbox{-sumowalna}}\right\}\right|=1.

W powyższym wzorze cl oznacza domknięcie zbioru w sensie normy przestrzeni X natomiast conv oznacza otoczkę wypukłą.

Jeżeli $f\colon \Omega \to X$ jest całkowalna w sensie Birkhoffa, to jedyny punkt zbioru

\bigcap \left\{{\mbox{cl conv}}J(f,\Gamma )\colon \,f{\mbox{ - }}\Gamma {\mbox{-sumowalna}}\right\}

nazywamy całką Birkhoffa z funkcji $f$ względem miary $\mu$ i oznaczamy

(B)\int _{\Omega }f\,d\mu .

Przypisy

↑ G. Birkhoff, Integration of functions with values in a Banach space, Transactions of the American Mathematical Society 38 (1935), no. 2, s. 357–378.

Read other articles:

Keuskupan Acre (Katolik Latin)

Santo Georges Acre, Israel.Uskup Acre adalah seorang uskup suffragan dari Uskup Agung Tyre di Kerajaan Latin Yerusalem pada abad pertengahan. Acre sekarang berada di Akko, Israel. Sejarah Pengenalan agama Kristen ke Ptolemais, sebutan Acre pada zaman kuno, bermula pada zaman Para Rasul. Rasul Paulus, kembali dari kunjungannya ke Makedonia (wilayah), di Achaea dan Asia, mendarat ke Tyre, dan dari sana berkunjung ke Ptolemais, dimana ia singgah selama beberapa hari dengan komunitas Kristen loka...

Strada statale 14 var Variante di Portogruaro

Questa voce sull'argomento strade d'Italia è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Strada statale 14 var Variante di PortogruaroLocalizzazioneStato Italia RegioniVeneto ProvinceCittà metropolitana di Venezia DatiClassificazioneStrada statale InizioInnesto con la S.S. n. 14 (Km 60+450) presso Portogruaro FineInnesto con la S.S n. 14 (Km 67+350) presso Fossalta di Portogruaro Lunghezza8,858 km Data apertura2014 GestoreANAS Manuale La strad...

Pusat Latihan Tempur

Pusat Latihan TempurAktif15 Desember 1997NegaraIndonesiaCabangTNI Angkatan DaratTipe unitPusat Latihan TempurBagian dariKodiklatadMarkasMartapuraJulukanPuslatpurMotoWidya Daya YudhaUlang tahun15 DesemberTokohKomandanBrigadir Jenderal TNI Suparlan Purwo Utomo, S.Ip., M.Si.Wadan- Pusat Latihan Tempur atau (Puslatpur) merupakan salah satu satuan pelaksana Kodiklat TNI AD yang mempunyai tugas pokok menyelenggarakan latihan antar kecabangan bagi satuan jajaran TNI Angkatan Darat setingkat Brigade ...

The Crooked World

2002 novel by Steve Lyons The Crooked World AuthorSteve LyonsSeriesDoctor Who book:Eighth Doctor AdventuresRelease number57SubjectFeaturing:Eighth DoctorFitz and AnjiPublisherBBC BooksPublication dateJune 2002Pages288ISBN0-563-53856-2Preceded byThe Book of the Still Followed byHistory 101 The Crooked World is a BBC Books original novel written by Steve Lyons and based on the long-running British science fiction television series Doctor Who.[1] It features the Eigh...

Buenavista, Quezon

Peta menunjukkan lokasi Buenavista Buenavista adalah munisipalitas yang terletak di provinsi Quezon, Filipina. Pada tahun 2010, munisipalitas ini memiliki populasi sebesar 25.716 jiwa dan 4.909 rumah tangga. Pembagian wilayah Secara administratif Buenavista terbagi menjadi 37 barangay, yaitu: Bagong Silang Batabat Norte Batabat Sur Buenavista Bukal Bulo Cabong Cadlit Catulin Cawa De La Paz Del Rosario Hagonghong Ibabang Wasay Ilayang Wasay Lilukin Mabini Mabutag Magallanes Maligaya (Esperanza...

Kathryn C. Thornton

American scientist and astronaut (born 1952) Kathryn ThorntonBorn (1952-08-17) August 17, 1952 (age 71)Montgomery, Alabama, U.S.EducationAuburn University (BS)University of Virginia (MS, PhD)SpouseStephen ThorntonSpace careerNASA astronautTime in space40d 15h 14mSelectionNASA Group 10 (1984)MissionsSTS-33STS-49STS-61STS-73Mission insignia Kathryn Ryan Cordell Thornton (born August 17, 1952) is an American scientist and a former NASA astronaut with over 975 hours in space, including 21 ho...

Tsurubebi

ilustrasi Tsurubebi (sesuatu seperti bola api yang jatuh dari pohon) yang ditemukan di dalam Gazu Hyakki Yakō bertahun 1781 Tsurubebi (Jepang: 釣瓶火code: ja is deprecated ) adalah yokai dalam cerita rakyat Jepang yang sering dijumpai di pepohonan jenis konifera di pedalaman hutan Pulau Shikoku dan Kyushu. Menurut legenda tsurubebi adalah roh pohon yang muncul di pelosok-pelosok hutan pada malam hari. Mereka diilustrasikan berbentuk bola api berwarna putih kebiruan yang bergelantungan nai...

Tupac Shakur

Tupac Shakur/ 2pacShakur pada 1991LahirLesane Parish Crooks(1971-06-16)16 Juni 1971East Harlem, Manhattan, New York City, New York, Amerika SerikatMeninggal13 September 1996(1996-09-13) (umur 25)Las Vegas, Nevada, Amerika SerikatKebangsaanAmerika SerikatNama lain2Pac, Makaveli, PacKarier musikGenreHip hopPekerjaanRapper, penulis lagu, Aktor, Produser, penyair, AktivisTahun aktif1988 – 1996LabelInterscope, Death Row, AmaruArtis terkaitDigital Underground, Danny Boy, Outlawz, Johnn...

Luis Monti

Luis Monti Monti con la maglia dell'Argentina Nazionalità Argentina Italia (dal 1932) Italia (dal 1946) Altezza 167 cm Peso 76 kg Calcio Ruolo Allenatore (ex centrocampista) Termine carriera 1939 - giocatore1950 - allenatore CarrieraSquadre di club1 1920 General Mitre0 (0)[1]1921 Huracán4 (0)1922 C.A. Palermo? (?)1922-1930 San Lorenzo202 (40)1923 Alvear1 (0)1924 C.A. Palermo? (?)1931 Sp. Palermo? (?)1931-1939 Juventus225 (19)N...

Consonne rétroflexe

Cette page contient des caractères spéciaux ou non latins. S’ils s’affichent mal (▯, ?, etc.), consultez la page d’aide Unicode. Consonne rétroflexe Symbole API ◌̢ Numéro API Unicode U+0322 X-SAMPA Kirshenbaum modifier En phonétique articulatoire, une consonne rétroflexe ou simplement une rétroflexe est une consonne dont le lieu d'articulation se situe au niveau du palais et dont l'organe constricteur est la pointe de la langue, dirigée vers le haut et l'ar...

ابن همماه الرامشي

أبو نصر محمد بن أحمد الرامشي معلومات شخصية الميلاد 404هـ1014-1013منيسابور، فارس الوفاة جمادى الآخرة 489هـمايو-يونيو 1096منيسابور، فارس مواطنة الدولة العباسية الحياة العملية الفترة العصر العباسي النوع أدب عربي تقليدي الحركة الأدبية الأدب في العصر العباسي الثاني (تجزؤ الخلافة...

德怀特·艾森豪威尔

五星上將前總統德怀特·D·艾森豪威尔Dwight D. Eisenhower第34任美国总统任期1953年1月20日—1961年1月20日副总统理查德·尼克松前任哈里·S·杜鲁门继任约翰·肯尼迪第1任歐洲盟軍最高司令任期1951年4月2日—1952年5月30日总统哈里·S·杜鲁门副职亞瑟·泰德继任馬修·李奇威第16任美國陸軍參謀長任期1945年11月19日—1948年2月6日总统哈里·S·杜鲁门副职約瑟夫·勞頓·科林斯前任喬治·�...

Die Geschichte des christlichen Maklers: Der junge Mann mit der abgehackten Hand und die Dame

Illustration, 1883 Die Geschichte des christlichen Maklers: Der junge Mann mit der abgehackten Hand und die Dame ist eine Geschichte aus Tausendundeine Nacht. Sie steht in Claudia Otts Übersetzung als Die Geschichte des christlichen Maklers: Der junge Mann mit der abgehackten Hand und die Dame (Nacht 109–121), bei Max Henning und bei Gustav Weil als Geschichte des Christen. Inhaltsverzeichnis 1 Inhalt 2 Einordnung 3 Literatur 4 Weblinks Inhalt Der Makler erzählt, wie ein vornehmer junger ...

Christopher Dawson

English Catholic historian and independent scholar For other people with the same name, see Chris Dawson (disambiguation). Christopher DawsonFBABorn(1889-10-12)12 October 1889Hay Castle, Hay-on-Wye, Brecknockshire, WalesDied25 May 1970(1970-05-25) (aged 80)Budleigh Salterton, Devon, EnglandOccupationHistorianAcademic backgroundEducationTrinity College, Oxford Winchester CollegeAcademic workMain interestsCultural history Christopher Henry Dawson FBA (12 October 1889 – 25 Ma...

Yvonne De Carlo

Yvonne De CarloDe Carlo pada 1951LahirMargaret Yvonne Middleton(1922-09-01)1 September 1922West Point Grey, Vancouver, British Columbia, KanadaMeninggal8 Januari 2007(2007-01-08) (umur 84)Woodland Hills, Los Angeles, California, Amerika SerikatSebab meninggalGagal jantung[1]MakamKremasiPekerjaanAktris, penyanyi, penariTahun aktif1941–1995Suami/istriRobert Drew Morgan (m. 1955⁠–⁠1973)AnakBruce Ross Morgan Mich...

Interferon

Signaling proteins released by host cells in response to the presence of pathogens IFN redirects here. For other uses, see IFN (disambiguation). Interferon type I (α/β/δ...)The molecular structure of human interferon-alpha (PDB: 1RH2)IdentifiersSymbolInterferonsPfamPF00143InterProIPR000471SMARTSM00076PROSITEPDOC00225CATH1au0SCOP21au1 / SCOPe / SUPFAMCDDcd00095Available protein structures:Pfam structures / ECOD PDBRCSB PDB; PDBe; PDBjPDBsumstructure summary Interferon typ...

Clare Boothe Luce

Clare Boothe Luce Ambasciatore in ItaliaDurata mandato4 maggio 1953 - 27 aprile 1956 PredecessoreEllsworth Bunker SuccessoreJames David Zellerbach Membro della Camera dei Rappresentanti - Connecticut, distretto n.4Durata mandato3 gennaio 1943 - 3 gennaio 1947 PredecessoreLe Roy D. Downs SuccessoreJohn D. Lodge Dati generaliPartito politicoRepubblicano Professionegiornalista, diplomatica Clare Boothe Luce (nata Ann Clare Boothe; New York, 10 marzo 1903 – Washington, 9 ottobre ...

Castalia

Water deity For other uses, see Castalia (disambiguation). CastaliaWater Ritual at DelphiGroupingLegendary creatureSub groupingWater spiritCountryGreeceRegionDelphi Greek deitiesseries Primordial deities Titans and Olympians Water deities Chthonic deities Personified concepts Nymphs Alseid Anthousai Auloniad Aurae Crinaeae Daphnaie Dryads Eleionomae Epimeliads Hamadryads Hesperides Hyades Lampads Leimakids Leuce Limnades Meliae Minthe Naiads Napaeae Nephele Nereids Oceanids Oreads Pegaeae Peg...

The Numero Group

American archival record label This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these messages) This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: The Numero Group – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2009) (Learn how and when to remove this message) This article...

José Pacheco (politician)

Portuguese politician (born 1971) José PachecoPacheco in 2020Member of the Legislative Assembly of the AzoresIncumbentAssumed office 16 November 2020ConstituencySão Miguel Personal detailsBornJosé Eduardo da Cunha Pacheco (1971-02-04) 4 February 1971 (age 53)Azores, PortugalPolitical partyChega (2019–present)Other politicalaffiliationsCDS - People's Party (2004–2019) José Eduardo da Cunha Pacheco (born 4 February 1971) is a Portuguese politician from the Azores. He is the pre...