10-letnią szkołę średnią ukończył w Rydze w 1964. Przez kolejne dwa lata uczył się w uzupełniającej wieczorowej szkole średniej, pracując jednocześnie jako ślusarz. W 1967 rozpoczął studia na wydziale fizyczno-matematycznym Uniwersytetu Ryskiego, jednak już na pierwszym roku porzucił naukę, gdyż postanowił zostać lotnikiem. W marcu 1968 podjął pracę w zakładach przemysłu lotniczego jako ślusarz. W sierpniu tego samego roku rozpoczął studia w Wyższej Szkole Wojsk Lotniczych w Czernihowie (ВВАУЛ), które ukończył w 1972. Służył jako starszy lotnik, a następnie dowódca eskadry w pułku lotniczym na Dalekim Wschodzie.
23 sierpnia 1976 został przyjęty do oddziału kosmonautów. Od września 1976 do lipca 1977 studiował w szkole pilotów doświadczalnych w Achtubinsku, został bowiem wyznaczony do pilotowania w przyszłości wahadłowców programu Buran. Następnie przeszedł szkolenie spadochronowe i nurkowe. Od października 1977 do września 1978 przechodził cykl ogólnych przygotowań do lotu w kosmos. Po jego ukończeniu uzyskał tytuł kosmonauty-badacza. Od lutego 1979 do czerwca 1981 przechodził szkolenie uzupełniające w wojskowej szkole lotniczo-badawczej w Achtubinsku (ГКНИИ ВВС).
W swój pierwszy lot w kosmos wystartował 7 czerwca 1988 statkiem Sojuz TM-5. Była to radziecko-bułgarska misja wizytująca na stacji kosmicznejMir, zorganizowana w ramach programu Interkosmos. Kosmonauci wrócili na Ziemię w kapsule lądującej Sojuza TM-4 po niespełna 10 dniach lotu.
Swój drugi lot odbył w dniach 11 lutego – 9 sierpnia 1990. Wszedł w skład 6. stałej ekspedycji na stację kosmiczną Mir jako jej dowódca. Na stację poleciał statkiem Sojuz TM-9, zaś wrócił w jego kapsule lądującej.
W kolejną misję wyruszył statkiem Sojuz TM-15 27 lipca 1992. Został dowódcą 12. stałej ekspedycji na stację kosmiczną Mir. Na Ziemię wrócił 1 lutego 1993 w kapsule lądującej Sojuza TM-15.
W swój czwarty lot wystartował 27 czerwca 1995 na pokładzie amerykańskiegowahadłowcaAtlantis realizującego misję STS-71. Po dotarciu na stację Mir (było to pierwsze cumowanie wahadłowca do stacji Mir) Sołowjow objął funkcję dowódcy 19. ekspedycji na tę stację. Na Ziemię powrócił w kapsule lądującej Sojuza TM-21 po 75 dniach lotu.
W ostatnią misję kosmiczną Sołowiow wyruszył statkiem Sojuz TM-26 5 sierpnia 1997. Po raz kolejny objął dowództwo nad stacją Mir, tym razem była to 24. stała załoga stacji. Na Ziemię wrócił 19 lutego 1998 w kapsule lądującej Sojuza TM-26. Ta przeszło 197-dniowa misja była najdłuższą w jego karierze kosmonauty.
Łącznie spędził w kosmosie 651 dni, co w 2017 roku daje mu 7. miejsce na liście rekordzistów[1].
W trakcie swoich pięciu lotów w kosmos Sołowjow odbył aż 16 spacerów kosmicznych (EVA) i jest pod tym względem rekordzistą[2].
25 stycznia 1999 ze względu na osiągnięty wiek opuścił armię i przeszedł do rezerwy, zaś 2 lutego opuścił korpus kosmonautów.
