Norum var sønn av kjøpmann Arent Norum og Karen Schjelderup. Han tok examen artium i 1832 og ble cand. jur. i 1839. Han ble deretter ansatt i Justisdepartementet, hvor han ble sjef for Kriminalkontoret i 1848. I denne stillingen skrev han innstillingen som lå til grunn for Botsfengselsloven av 12. juli 1848, og ble utnevnt til Botsfengselets første direktør med forpliktelse til å gjennomføre studiereiser for å studere fengselsvesenet i andre land. I 1858 fikk han i oppdrag å utføre undersøkelser av forholdene i norske fengsler, og i 1860 ble han utnevnt til sorenskriver i Hadeland og Land sorenskriveri. Denne stillingen beholdt han til sin død.
