Kunc deltok i verdenscupen fra og med sesongen 1989/90. Han tok sine første poeng i januar 1990 i storslalåmrennet i Veysonnaz. Gjennombruddet i verdenstoppen kom på midten av 1990-tallet, da han tok noen andreplasser i storslalåm. I 1994 ble han nummer fire i storslalåm under OL på Lillehammer, bare fire hundredels sekunder bak landsmannen Jure Košir. Kunc kom på sjuendeplass i kombinasjonsøvelsen.
Deretter stoppet den sportslige utviklingen på grunn av skader. Førs på slutten av 1990-tallet greide Kunc å oppnå like gode resultater. 27. februar 2000 vant han sitt eneste verdenscuprenn i karrieren, slalåmrennet i Yongpyong. Under VM 2001 i St. Anton tok han bronse i slalåm. I sesongen 2001/02 oppnådde han ytterligere noen topplasseringer, før skader igjen satte en stopper.
