Han ble født i Budapest, og slo gjennom internasjonalt allerede som 18-åring. I 1935 vant han det nasjonale ungarske mesterskapet, et mesterskap han skulle vinne ni ganger i karrieren. Han vant også en internasjonal turnering i Tatatóváros i Ungarn, og ble tatt ut for å spille for Ungarn i sjakkolympiaden i Warszawa. Så unge toppspillere var ikke vanlig på den tiden, og Szabó vakte oppmerksomhet med sitt friske angrepsspill, som sto i kontrast til det tradisjonelle posisjonsspillet resten av det ungarske laget pleide å bruke. Szabó skal ha blitt trent av Géza Maróczy[trenger referanse], som hadde vært den sterkeste spilleren i de foregående tiårene.
Fram mot andre verdenskrig kunne Szabo vise til andre gode resultater, blant annet vant han i Hastings. Han begynte også en karriere i bank.
Ved starten av krigen ble han plassert i en tvangsarbeidsenhet, og han ble senere i krigen tatt til fange av sovjetiske styrker, og ble sittende i krigsfangenskap.
Da krigen var over, tok han opp igjen sjakken og spilte mange internasjonale turneringer, blant annet den første storturneringen etter krigen, som fant sted i Groningen i 1946. Han ble der nummer 12, etter spillere som Botvinnik, Euwe, Smyslov, Najdorf, Boleslavskij og Kotov. Han vant turneringene i Hastings 1947/48, Budapest 1948 og Hastings 1949/50.
I Intersoneturneringen i Saltsjöbaden i 1948 ble han nummer to etter Bronstein. Dette kvalifiserte ham til kandidatturneringen i Budapest i 1950. Szabó fikk dermed tittelen Internasjonal stormester i sjakk som en av de 27 første, da FIDE begynte å dele ut tittelen i 1950.
Delt femteplass i intersoneturneringene både i Saltsjöbaden i 1952 og Göteborg i 1955 medførte at han altså tre ganger på rad kvalifiserte seg til kandidatturneringen, der vinneren møter verdensmesteren i sjakk i kamp om VM-tittelen. Best gikk det i den tredje og siste av kandidatturneringene, i Amsterdam i 1956. Der delte Szabó tredjeplassen med Bronstein, Geller, Petrosian og Boris Spasskij, bak Smyslov og Keres.
Szabó kunne også vise til gode resultater på 1960- og 70-tallet, med førsteplass i Zagreb 1964, delt førsteplass i Budapest 1965 (sammen med Polugajevskij og Tajmanov, førsteplass i Sarajevo 1972, førsteplass i Hilversum 1973 (sammen med Geller), og delt førsteplass i Hastings 1973/74 (sammen med Kuzmin, Timman og Tal.
Szabó spilte for Ungarn i elleve sjakkolympiader, hvor han spilte på første bord fem ganger, og han tok medalje flere ganger: I 1937 ble det lag-sølv og individuelt sølv, 1952 individuell bronse, i 1956 lag-bronse og individuelt sølv. Szabó var den sterkeste spilleren Ungarn hadde etter andre verdenskrig, fram til Lajos Portisch tok steget inn i verdenstoppen rundt 1963/64. Szabó var på sitt beste en av de 12 sterkeste spillerne i verden.
