Kukk studerte økonomi ved Rigas tekniske universitet i 1904 til 1910, og studerte etterpå videre i Tyskland der han avla diplomeksamen. Etter endt utdannelse arbeidet Kukk i Tartu som bankassistent. Fra 1911 var han også redaktør og utgiver av avisen Ühistegevusleht. Under den første verdenskrig var Kukk medlem av den estiske forsyningskomitéen. Han fortsatte sin virksomhet innen industri og forbrukersak også etter at han gikk inn i politikken.
I 1917 til 1918 var Kukk leder for finansdepartementet i den estiske provinsregjeringen (Maapäev), 1918 til 1919 finans- og statlig eiendoms-minister i den midlertidige regjeringen, 1919–1920 finansminister i Estland, 1920–21 minister for handel og industri, 1921–1922, leder for den første lovgivende forsamlingen (Riigikogu), 1922–1924 direktør for den estiske nasjonalbanken. Han var medlem av både den første og andre Riigikogu (1920–1926). Fra november 1922 til august 1923 var han rikseldste (statsoverhode).
