Melberg ble født i Halden og ble uteksaminert fra Halden Latinskole i 1930 med toppkarakterer. Han fortsatte å studere språk og lingvistikk ved Universitetet i Oslo i 6-7 år, men forlot UiO uten å ha tatt noen grad. Han skrev romanen Solen går aldri ned i 1938, basert på selvopplevd sult. For å hjelpe ham økonomisk og støtte arbeidet med keltiske språk fikk han en pengesum fra Thomas Coats og jarlen av Bute. Melberg brukte ikke disse pengene selv, men ga dem til UiO for å støtte opprettelsen av et keltisk institutt.
Under okkupasjonen av Norge under annen verdenskrig var Melberg en av lederne av XU-PAN, en hemmelig etterretningsorganisasjon som samlet informasjon om tyske styrker og sendte den til London. Dette arbeidet er beskrevet i bok Dobbeltspill – Nazilensmannen som lurte tyskerne (1988) av Torbjørn Brynildsen og Håkon Melberg.
Fra 1940-43, jobbet Melberg som jiu jitsu-instruktør ved broren Sam Melbergs treningsstudio i Oslo. Håkon Melberg skrev introduksjonskapittelet med tittelen Vitenskapen å slåss til Sams bok, Jiu Jitsu.
I september 1945, presenterte Melberg den første versjonen av sin hypotese om opprinnelsen til de skandinaviske nasjonene for Det Norske Vitenskaps-Akademi i Oslo. Den ble møtt med stillhet. Et år senere ble den presentert for det Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab i København, hvor den førte til opphetede diskusjoner. På grunn av misforståelser som oppstod, og behovet for mer bakgrunnsinformasjon som dukket opp som følge av diskusjonene, bestemte Melberg seg for å presentere arbeidet sitt med all informasjon som trengtes for å evaluere hypotesen. Resultatet av dette var to-bindsverket Origin of the Scandinavian Nations and Languages som kom i 1951. En skannet, søkbar tekst er begrenset tilgjengelig på Google Books.[1][2] Ikke før 2002 er verket nevnt i et «autoritativt» oppslagsverk, The Nordic Languages - An International Handbook of the History of the North Germanic Languages, redigert av Oskar Bandle og Ernst Håkon Jahr.[3]
Etter å ha publisert dette arbeidet fortsatte Melberg å jobbe med keltiske språk i noen år. Resten av sitt aktive liv brukte han til å jobbe med og for barn i Halden. Sammen med sin kone startet han i 1945 et aktivitetssenter for barn, kalt Barnas hus. Han skrev teksten til barneoperaen Nattmannens barn, som ble oppført første gang i 1960. Melberg døde i 1990. Flere av hans etterkommere i familen Melberg har gjort seg bemerket innen svømming.
