Juraj Drašković stammet fra den kroatiske adelsfamilie Drašković. Faren var Bartol Drašković (* ca.1500; † 1538), en lavadelsmann fra sørlige del av Kroatia. Moren Ana neé Utješinović, født i Kamičak, var søster av kardinalen og statsmannen Juraj Utješinović Martinušević, beddre kjent som György Martinuzzi.
Prest
Han utdannet til prest i Kraków, Wien, Bologna og til slutt i Roma. Han gjorde en god karriere som prest og bidrog med en anselig del til familiens rikdommer.
Biskop, visekonge
Han var biskop av Pécs i Ungarn i 1557, og var som sådan en av Ungarns sendebud ved Tridentinerkonsilet (1545–1563). I år 1563 ble han forflyttet til bispestolen i Zagreb, og i år 1576 ble hans Kroatias ban (visekonge). Senere ble han biskop av Győr (Ungarn) og til slutt, i 1586, erkebiskop av Kalocsa-Bács.
Under sin regjering som ban var den politiske og sosiale situasjon i Kroatia svørt komplisert, med invasjon fra det osmanske rikes styrker, konflikter innen adelsstanden, protestantisk fremmars, og bondeoppstander. György Draskovics viste seg som både en klok teolog og dyktig politiker, var alltid på rett sted til rett tid, og løste de fleste av vanskelighetene.
Kardinal
Han ble kreert til kardinal den 18. desember1585 av pave Sixtus V. Han ble da også riksstattholder av Ungarn. Han dro aldri til Roma for å få sin røde kardinalshatt og bli tildelt en tittelkirke.
