Delaney var fødd i Broughton i Salford i Lancashire som Sheila Mary Delaney.[1][2]
Far hennar var bussinspektøren Joseph Delaney og mora var Elsie Tremlow frå Salford.[3] Delaney avslutta skulegangen då ho var 16 og levde av strøjobbar.
Då ho var 19 debuterte ho med stykket A Taste of Honey under namnet Shelagh Delaney. Stykket blei framført av Joan Littlewood si Theatre Workshop.[4] I teaterprogrammet blei Delaney skildra som «the antithesis of London's 'angry young men'. She knows what she is angry about.»[5] Ho fortsett å skriva for teater, og frå 1970 også for radio og fjernsyn.
A Taste of Honey (norsk En smak av honning, omsett av Alf Hartmann (Norsk Rikskringkasting, 1978), svensk Doft av honung, omsett av Mario Grut (Cavefors, 1959)[6])