Stelling van Menelaos

De stelling van Menelaos of stelling van Menelaüs, toegeschreven aan Menelaos van Alexandrië is een stelling over driehoeken. Gegeven zijn een driehoek ABC en punten D, E en F die respectievelijk op de zijden BC, AC en AB liggen. De stelling zegt over D, E en F, dat de drie op één lijn liggen, dan en slechts dan als

{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1

Hierbij moeten de drie verhoudingen opgevat worden als verhoudingen van evenwijdige vectoren. Zo is ${\frac {AF}{FB}}$ de verhouding van ${\overrightarrow {AF}}$ en ${\overrightarrow {FB}}$ . Die verhouding is positief als F tussen A en B ligt, en negatief als F buiten het lijnstuk AB ligt.

Bewijs

Dit is een van de vele bewijzen van de stelling van Menelaos.

\Rightarrow

Het teken van de linkerkant van de vergelijking van de stelling is negatief: Lijn DEF snijdt de zijden een even aantal keren:

ofwel twee keer om de driehoek in en weer uit te gaan,
ofwel geen enkele keer als de lijn niet door de driehoek gaat.

Een oneven aantal van de drie quotiënten aan de linkerkant van de vergelijking is negatief, dus is het product negatief.

Het product heeft een absolute waarde van 1: Construeer de lijnstukken van A, B en C loodrecht naar hun voetpunten op lijn DEF. Noem de lengtes van deze lijnstukken a, b, en c. Door gebruik te maken van gelijkvormigheid, kunnen we de absolute waarde van linkerkant van de vergelijking schrijven als

\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=1

\Leftarrow

Bewijs uit het ongerijmde, dat als de vergelijking van de stelling klopt, D, E en F op één lijn liggen. Laat F' een tweede punt op AB zijn, verschillend van F en noem de lengtes AF=n, AF' = n' en AB=s. Stel dat F' ook voldoet aan de vergelijking van de stelling. Dan hebben de breuken een gelijke waarde:

{\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}

{\frac {n}{s-n}}={\frac {n'}{s-n'}}

waaruit volgt dat n = n'. Met D en E vast is er dus hoogstens één punt op AB, dat aan de vergelijking van de stelling kan voldoen. Er moet dan een punt F zijn, dat AB in lijnstukken van de benodigde verhouding verdeelt. Met D, E en F op één lijn, voldeden ze aan de vergelijking. Dus kan F alleen voldoen aan de vergelijking, als het op de lijn DE ligt.

Dezelfde redenering gaat voor D en E op.

Zie ook

Stelling van Ceva

Zie de categorie Menelaos's theorem van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.

Read other articles:

FF Scala

FF ScalaKategoriSans-serif & SerifPerancangMartin MajoorPenerbitFontShop InternationalDibuat1990Diluncurkan1990 FF Scala adalah rupa huruf berkait (serif) yang dirancang dan dikembangkan oleh desainer Belanda Martin Majoor pada tahun 1989 untuk Pusat Musik Vredenburg di Utrecht, Belanda. Nama FF Scala berasal dari the Teatro alla Scala (1776–78) Milan. FF Scala pertama kali di release pada tahun 1990 oleh pabrik huruf FontShop International dengan brand Font Font, tetapi FF Scala baru p...

Vegreville, Alberta

Vegreville merupakan sebuah kota di Alberta Tengah, Kanada. Kota ini terletak 103 km (64 mi) timur ibu kota Alberta, Edmonton. Kota ini berdiri di tengah-tengah provnsi. Tumpuan ekonomi utama rakyatnya adalah bertani. Persentase besar populasi Vegreville disebabkan karena banyaknya keturunan Ukraina Kanada. Pysanka (Telur Paskah Ukraina) dibuat untuk merayakan Ulang Tahun Royal Canadian Mounted Police yang ke-100 pada 1974 dan untuk menjadi simbol etnis kota Vegreville. The July Pys...

Andika Hazrumy

Andika HazrumyPotret resmi, 2017 Wakil Gubernur Banten ke-4Masa jabatan12 Mei 2017 – 12 Mei 2022GubernurWahidin Halim PendahuluRano KarnoPenggantiLowongAnggota Dewan Perwakilan RakyatMasa jabatan1 Oktober 2014 – 24 Oktober 2016 PenggantiAce Hasan SyadzilyDaerah pemilihanBanten IAnggota Dewan Perwakilan Daerahdari BantenMasa jabatan1 Oktober 2009 – 30 September 2014 Informasi pribadiLahir16 Desember 1985 (umur 38)Bandung, Jawa Barat, IndonesiaPartai po...

Al-Baqarah ayat 256

Redaksi Q.S. Al-Baqarah ayat 256 menggunakan rasm Utsmani. Bacaan oleh Syaikh Abdurrahman as-Sudais Al-Qur'an Sejarah Wahyu Kesejarahan Asbabunnuzul Nuzululqur'an Manuskrip Samarkand Sanaa Birmingham Topkapi Pembagian Hizb Juz Manzil Muqatta'at Surah Daftar Makiyah Madaniyah Isi Eskatologi Hewan Keajaiban Ketuhanan Ilmu pengetahuan Legenda Nabi dan Rasul Nama lain Perumpamaan Wanita Membaca Taawuz Basmalah Hafiz Qiraat Qari Tajwid Tartil Khatam Terjemahan Daftar terjemahan Al-Qur'an Tafsir Da...

Paus Leo X

PausLeo XDetail dari Lukisan Leo X karya RafaelAwal masa kepausan9 Maret 1513Akhir masa kepausan1 Desember 1521PendahuluYulius IIPenerusAdrianus VIInformasi pribadiNama lahirGiovanni di Lorenzo de' MediciLahir11 Desember 1475Florence, ItaliaWafat1 Desember 1521Roma, ItaliaPaus lainnya yang bernama Leo Leo X (11 Desember 1475 – 1 Desember 1521) adalah seorang Paus yang menjabat dari 9 Maret 1514 hingga kematiannya pada 1 Desember 1521.[1] Ia adalah anak laki-laki kedua ...

Paul dari Württemberg

Pangeran Paul Pangeran Paul dari Württemberg (Paul Heinrich Karl Friedrich August; 19 Januari 1785 – 16 April 1852) merupakan anak keempat dan putra kedua Raja Friedrich I dan istrinya, Adipatni Augusta dari Braunschweig-Wolfenbüttel. Paul lahir di Sankt-Peterburg ketika ayahandanya masih belum memerintah di Württemberg, dan dilantik sebagai gubernur Finlandia Lama oleh Yekaterina II di Rusia. Paul meninggal di Paris pada usia 67 tahun pada tanggal 16 April 1852. Referensi

1961 NBA draft

Basketball player selection 1961 NBA draftGeneral informationSportBasketballDate(s)March 27, 1961LocationNew York City, New YorkOverview107 total selections in 15 roundsLeagueNBAFirst selectionWalt Bellamy, Chicago Packers← 19601962 → The 1961 NBA draft was the 15th annual draft of the National Basketball Association (NBA). The draft was held on March 27, 1961, before the 1961–62 season. In this draft, nine NBA teams took turns selecting amateur U.S. college baske...

Universitas Nahdlatul Ulama Sulawesi Tenggara

Universitas Nahdlatul Ulama Sulawesi TenggaraDidirikan17 Oktober 2014RektorProf. Dr. H. Nasruddin Suyuthi, M.SiAlamatJln. Mayjend Katamso No 2 Kel. Lepo-Lepo Kec. Baruga , Kendari, Sulawesi Tenggara, IndonesiaSitus webunusra.ac.id Universitas Nahdlatul Ulama Sulawesi Tenggara (UNUSRA) merupakan perguruan tinggi keagamaan islam swasta binaan Nahdlatul Ulama yang bediri pada 17 Oktober 2014 [1], dan mulai beroperasi sejak 2015 [2]. Kampus perguruan tinggi ini berlokasi di kota K...

Desmond Fitzpatrick

British Army general (1912–2002) GeneralSir Desmond FitzpatrickSir Desmond FitzpatrickBorn(1912-12-14)14 December 1912Aldershot, Hampshire, EnglandDied12 October 2002(2002-10-12) (aged 89)AllegianceUnited KingdomService/branchBritish ArmyYears of service1932–1974RankGeneralService number53670Unit1st The Royal DragoonsCommands heldDeputy Supreme Allied Commander, EuropeBritish Army of the RhineNorthern Ireland CommandRhine Army Troops1st The Royal Dragoons8th King's Royal Irish H...

哈萨克斯坦总统

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2019年3月21日)请考虑扩充序言，清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。哈萨克斯坦總統哈薩克總統旗現任Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев卡瑟姆若马尔特·托卡耶夫自2019年3月20日在任任期7年首任努尔苏丹·纳扎尔巴耶夫设立1990年4月24日（哈薩克蘇維埃社會主義共和國總統）哈萨克斯坦哈萨克斯坦政府...

Військово-музичне управління Збройних сил України

Військово-музичне управління Збройних сил України Тип військове формуванняЗасновано 1992Країна Україна Емблема управління Військово-музичне управління Збройних сил України — структурний підрозділ Генерального штабу Збройних сил України призначений для планува...

Філософія

Частина серії проФілософіяLeft to right: Plato, Kant, Nietzsche, Buddha, Confucius, AverroesПлатонКантНіцшеБуддаКонфуційАверроес Філософи Епістемологи Естетики Етики Логіки Метафізики Соціально-політичні філософи Традиції Аналітична Арістотелівська Африканська Близькосхідна іранська Буддій�...

Refugee health

Health effects experienced by people who have been displaced A hospital in a camp for refugees of the Nigerian-Biagfran Civil War, late 1960s (CDC) Refugee health is the field of study on the health effects experienced by people who have been displaced into another country or even to another part of the world, as a result of unsafe circumstances such as war or persecution. People who have been displaced can be affected by infectious diseases or some chronic diseases that are uncommon in the c...

Bank Nasional Ceko

Bank Nasional CekoČeská národní banka (dalam bahasa tidak diketahui)Logo Bank Nasional CekoKantor pusatPrague, Republik CekoKoordinat50°05′13″N 14°25′42″E / 50.08694°N 14.42833°E / 50.08694; 14.42833Didirikan1 Januari 1993(1919 sebagai Kantor Perbankan Kementerian Keuangan)Pemilik100% kepemilikan negara[1]GubernurAleš MichlNegaraRepublik CekoMata uangKoruna CekoCZK (ISO 4217)Cadangan62 630 juta USD[1]PendahuluBank Negara ...

Sveriges Radio

Radiotjänst redirects here. For the private company, see Radiotjänst i Kiruna. Swedish national radio broadcaster and quasi-autonomous non-governmental entity Sveriges Radio (SR)Logo used since 2010, incorporating the SR mark in the middle which has been used since 1957.TypePublic broadcastingCountrySwedenHeadquartersRadiohuset, Östermalm, Stockholm59°20′5″N 18°6′5″E / 59.33472°N 18.10139°E / 59.33472; 18.10139OwnershipOwnerFoundation Management for SR, ...

彼得一世岛

此條目需要补充更多来源。 (2023年1月22日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索：彼得一世岛 — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。彼得一世島Peter I Øy1931年—1961年國旗國徽彼得一世島位置(紅色)、南極洲(�...

Third Antony ministry

Third A. K. Antony Ministry18th Cabinet of Kerala2001-04Date formed17 May 2001Date dissolved29 August 2004People and organisationsHead of governmentA. K. AntonyHistoryPredecessorThird Nayanar ministrySuccessorFirst Chandy ministry The Eleventh Kerala Legislative Assembly Council of Ministers in A. K. Antony's third ministry, was a Kerala Council of Ministers (Kerala Cabinet), the executive wing of Kerala state government, led by Indian National Congress leader A. K. Antony from 17 May 2001 t...

Otarioidea

Superfamily of carnivores OtarioideaTemporal range: Oligocene–Holocene, 24–0 Ma PreꞒ Ꞓ O S D C P T J K Pg N A rookery of walruses (Odobenus rosmarus) A male and female South American sea lion (Otaria flavescens) Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Chordata Class: Mammalia Order: Carnivora Clade: Pinnipedia Superfamily: OtarioideaJ. E. Gray, 1821 Subclades Family †Desmatophocidae Family Odobenidae Clade Panotariidae Velez-Juarbe, 2017 †Eotaria...

Las gas

Tabung gas terkompresi yang mengandung oksigen dan oksi-asetilen. Las gas atau las karbit adalah proses penyambungan kedua logam (pengelasan) yang menggunakan gas-gas tertentu sebagai bahan bakar. Prosesnya adalah membakar bahan bakar yang telah dibakar gas dengan oksigen sehingga menimbulkan nyala api dengan suhu sekitar 3.500 °C yang dapat mencairkan logam induk dan logam pengisi. Bahan bakar untuk las gas menggunakan gas asetilena, propana atau hidrogen. Ketiga bahan bakar ini yang p...

Senado de Zimbabue

Senado de ZimbabueSenate of Zimbabwe IX Legislatura Información generalÁmbito ZimbabueCreación 1980 (1° Creación)2005 (2° Creación)Tipo Cámara alta del Parlamento de ZimbabueInicio de sesiones 20 de julio de 2020LiderazgoPresidenta del Senado Mabel Chinomona (ZANU–PF)desde el 11 de septiembre de 2018 ComposiciónMiembros 80 Senadores (60 elegidos por Escrutinio mayoritario uninominal, 18 reservados para jefes tribales, 2 reservados para personas con discapacidad)Mayoría ZANU�...