PROFILPELAJAR.COM

De sedenionen vormen in de abstracte algebra een 16-dimensionale algebra over de reële getallen. De verzameling van de sedenionen wordt aangegeven door $\mathbb {S}$ . Op dit moment zijn er twee types sedenionen bekend:

Sedenionen die men verkrijgt door de Cayley-Dickson-constructie toe te passen
Kegelsedenionen ("16-dimensionale M-algebra") naar Charles Musès, een onderdeel van zijn hypergetalconcept.

Cayley-Dickson-sedenionen

Net zoals (Cayley-Dickson)-octonionen, is de vermenigvuldiging van Cayley-Dickson-sedenionen noch commutatief noch associatief. Maar in tegenstelling tot de octonionen hebben de sedenionen niet de alternatieve eigenschap. Zij hebben wel de eigenschap van machtassociativiteit.

Elke sedenion is een reële lineaire combinatie van de eenheidsedenionen 1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇, e₈, e₉, e₁₀, e₁₁, e₁₂, e₁₃, e₁₄ en e₁₅. Samen vormen deze eenheidsedenionen de basis van de vectorruimte van de sedenionen.

De sedenionen hebben een multiplicatief neutraal element 1 en multiplicatieve inversen, maar zijn geen delingsalgebra. Dat is omdat zij nuldelers hebben; dit betekent dat de twee niet-nulzijnde getallen kunnen worden vermenigvuldigd om een nulresultaat te verkrijgen: een triviaal voorbeeld is (e₃ + e₁₀)*(e₆ - e₁₅). Alle hypercomplexe getalsystemen die zijn gebaseerd op de Cayley-Dickson-constructie voor sedenionen, bevatten nuldelers.

De vermenigvuldigingstafel voor deze eenheidsedenionen zien er als volgt uit:

×	1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇	e₈	e₉	e₁₀	e₁₁	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅
1	1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇	e₈	e₉	e₁₀	e₁₁	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅
e₁	e₁	-1	e₃	-e₂	e₅	-e₄	-e₇	e₆	e₉	-e₈	-e₁₁	e₁₀	-e₁₃	e₁₂	e₁₅	-e₁₄
e₂	e₂	-e₃	-1	e₁	e₆	e₇	-e₄	-e₅	e₁₀	e₁₁	-e₈	-e₉	-e₁₄	-e₁₅	e₁₂	e₁₃
e₃	e₃	e₂	-e₁	-1	e₇	-e₆	e₅	-e₄	e₁₁	-e₁₀	e₉	-e₈	-e₁₅	e₁₄	-e₁₃	e₁₂
e₄	e₄	-e₅	-e₆	-e₇	-1	e₁	e₂	e₃	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅	-e₈	-e₉	-e₁₀	-e₁₁
e₅	e₅	e₄	-e₇	e₆	-e₁	-1	-e₃	e₂	e₁₃	-e₁₂	e₁₅	-e₁₄	e₉	-e₈	e₁₁	-e₁₀
e₆	e₆	e₇	e₄	-e₅	-e₂	e₃	-1	-e₁	e₁₄	-e₁₅	-e₁₂	e₁₃	e₁₀	-e₁₁	-e₈	e₉
e₇	e₇	-e₆	e₅	e₄	-e₃	-e₂	e₁	-1	e₁₅	e₁₄	-e₁₃	-e₁₂	e₁₁	e₁₀	-e₉	-e₈
e₈	e₈	-e₉	-e₁₀	-e₁₁	-e₁₂	-e₁₃	-e₁₄	-e₁₅	-1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇
e₉	e₉	e₈	-e₁₁	e₁₀	-e₁₃	e₁₂	e₁₅	-e₁₄	-e₁	-1	-e₃	e₂	-e₅	e₄	e₇	-e₆
e₁₀	e₁₀	e₁₁	e₈	-e₉	-e₁₄	-e₁₅	e₁₂	e₁₃	-e₂	e₃	-1	-e₁	-e₆	-e₇	e₄	e₅
e₁₁	e₁₁	-e₁₀	e₉	e₈	-e₁₅	e₁₄	-e₁₃	e₁₂	-e₃	-e₂	e₁	-1	-e₇	e₆	-e₅	e₄
e₁₂	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅	e₈	-e₉	-e₁₀	-e₁₁	-e₄	e₅	e₆	e₇	-1	-e₁	-e₂	-e₃
e₁₃	e₁₃	-e₁₂	e₁₅	-e₁₄	e₉	e₈	e₁₁	-e₁₀	-e₅	-e₄	e₇	-e₆	e₁	-1	e₃	-e₂
e₁₄	e₁₄	-e₁₅	-e₁₂	e₁₃	e₁₀	-e₁₁	e₈	e₉	-e₆	-e₇	-e₄	e₅	e₂	-e₃	-1	e₁
e₁₅	e₁₅	e₁₄	-e₁₃	-e₁₂	e₁₁	e₁₀	-e₉	e₈	-e₇	e₆	-e₅	-e₄	e₃	e₂	-e₁	-1

Verdere documentatie

Imaeda, K., Imaeda, M.: Sedenions: algebra and analysis (Sedenionen: algebra en analyse), Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)
Kinyon, M.K., Phillips, J.D., Vojtěchovský, P.: C-loops: Extensions and constructions (C-loops: uitbreidingen en constructies), Journal of Algebra and its Applications 6 (2007), no. 1, 1-20. [1]

Kegelsedenionen / "16-dimensionale M-algebra"

In contrast tot de Cayley-Dickson-sedenionen, die opgebouwd zijn uit het getal 1 en 15 wortels van het getal -1, zijn kegelsedenionen opgebouwd uit 8 vierkantswortels van zowel plus één als min één. Zij delen niet-commutativiteit en niet-associativiteit met de rekenregels voor Cayley-Dickson-sedenionen ("circulaire sedenion"). Kegelsedenionen zijn echter modulair, alternatief en flexibel. Met uitzondering van zijn nilpotenten, nuldelers, en nul zelf, zijn de rekenregels gesloten met betrekking tot macht-van- en logaritmebewerkingen. Kegelsedenionen zijn niet machts-associatief.