Postulaten van Euclides

Euclides door Justus van Gent (±1474)

De vijf postulaten van Euclides zijn de vijf axioma's uit het meesterwerk Elementen van Euclides waarmee de grondslagen van de meetkunde worden gelegd.

Deze vijf postulaten zijn:

  1. Door twee punten kan altijd een rechte lijn getrokken worden.
  2. Elke rechte lijn kan eindeloos als rechte lijn uitgebreid worden.
  3. Elk lijnstuk kan de straal zijn van een cirkel met een van de uiteinden van dat lijnstuk als middelpunt.
  4. Alle rechte hoeken zijn congruent.
  5. Als twee lijnen een derde lijn zo snijden dat de som van de binnenhoeken aan een kant kleiner is dan twee rechte hoeken, dan moeten deze twee lijnen elkaar onvermijdelijk snijden als ze genoeg verlengd worden.

Het vijfde postulaat wordt het parallellenpostulaat genoemd. Het is de complexe formulering door Euclides van het ermee equivalente axioma van Playfair:

  • Door een punt buiten een oneindig lange rechte lijn gaat precies één oneindig lange lijn die de eerste niet snijdt.

De meetkunde die mede op dit laatste postulaat gebaseerd is, heet euclidische meetkunde. De rechte lijnen in deze meetkunde kun je je voorstellen als in een plat vlak: de twee lijnen in het parallellenpostulaat zijn dan als de spoorstaven van treinrails, die elkaar immers ook nooit snijden.

Geen enkel van de postulaten kan bewezen worden. Het zijn uitgangspunten waarop de meetkunde is gebaseerd. Vele wiskundigen hebben geprobeerd het vijfde postulaat te bewijzen uit de vier andere, maar tevergeefs.

Sterker nog: er zijn (even onbewijsbare) alternatieven voor:

Deze worden niet-euclidische meetkundes genoemd.

Elliptische meetkunde

In de elliptische meetkunde wordt het vijfde postulaat als volgt geformuleerd:

  • Door een punt buiten een oneindig lange rechte lijn is er geen oneindig lange lijn die de eerste niet snijdt.

Hier moet je je losmaken van het gebruikelijke beeld van een punt en een rechte lijn. Een 'rechte lijn' is hier een (deel van een) grootcirkel om een bol, dat is een cirkel die het centrum van de bol als middelpunt heeft, zoals de evenaar van de aardbol. Een 'punt' bestaat hier uit twee helften, een aan de ene kant van de bol en een precies aan de andere kant. Dit lijkt vreemd, maar het is niet in tegenspraak met de eerste vier postulaten. En nu komt het: een tweetal 'rechte lijnen' door twee verschillende 'punten' snijden elkaar altijd, en wel in één 'punt'. Dit is een ontkenning van het 5e postulaat van Euclides.

Hyperbolische meetkunde

In de hyperbolische meetkunde wordt het vijfde postulaat als volgt geformuleerd:

  • Door een punt buiten een oneindig lange rechte lijn gaan ten minste twee oneindig lange lijnen die de eerste niet snijden.

Deze meetkunde kun je je voorstellen als een die zich afspeelt binnen een cirkel, waar een 'rechte lijn' een cirkelsegment is die de eerstgenoemde cirkel loodrecht snijdt (alle middellijnen van de cirkel horen daar ook bij).

Analogieën

Er is een analogie met kegelsneden, zodat de euclidische meetkunde kan worden opgevat als een grensgeval tussen de elliptische en hyperbolische, en dus 'parabolische' meetkunde zou mogen heten.

Bronnen

  • Dijksterhuis, E.J.; De Elementen van Euclides, Vol. 1 and 2, Groningen: Noordhoff, 1929-1930.

Read other articles:

I Can Quit Whenever I Want: Ad Honorem

I Can Quit Whenever I Want:Ad HonoremPoster filmNama lainItaliaSmetto quando voglio - Ad honorem SutradaraSydney SibiliaProduserDomenico ProcacciMatteo RovereDitulis olehSydney SibiliaFrancesca ManieriLuigi Di CapuaPemeranEdoardo LeoValerio ApreaPaolo CalabresiLibero De RienzoStefano FresiLorenzo LaviaPietro SermontiMarco BoniniRosario LismaGiampaolo MorelliPeppe BarraGreta ScaranoLuigi Lo CascioValeria SolarinoNeri MarcorèPenata musikMichele BragaSinematograferVladan RadovicPeny...

 

Golf

GolfInduk organisasiR&AUSGAPertama dimainkanabad ke-15KarakteristikKontak fisikTidakKategoriluar ruangPeralatanbola golf, stik golfKeberadaanOlimpiadedua kali, tahun 1900 dan 1904[1] Golf adalah permainan luar ruang yang dimainkan secara perorangan atau tim yang berlomba memasukkan bola ke dalam lubang-lubang yang ada di lapangan dengan jumlah pukulan tersedikit mungkin. Bola dipukul dengan menggunakan satu set tongkat pemukul yang disebut klab (stik golf). olahraga ini adalah sal...

 

Arsyad Indradi

Arsyad IndradiArsyad IndradiLahir31 Desember 1949 (umur 74)Barabai, Kalimantan Selatan, IndonesiaNama lainAbah ArsyadPekerjaanSastrawanpenariTahun aktif1970—sekarangSuami/istriMisrahAnak3 Arsyad Indradi (lahir 31 Desember 1949), lebih dikenal dengan nama Abah Arsyad adalah sastrawan dan penari berkebangsaan Indonesia. Sejak kecil, Arsyad sudah mengakrabi dunia seni tari. Arsyad menerima sejumlah penghargaan atas prestasi seninya.[1] Kehidupan awal Arsyad Indradi lahi...

Samuel (penyanyi)

Nama ini menggunakan cara penamaan Spanyol: nama keluarga pertama atau paternalnya adalah Arredondo dan nama keluarga kedua atau maternalnya adalah Kim. SamuelSamuel saat latihan di Sky Festival pada bulan September 2017LahirSamuel Arredondo Kim17 Januari 2002 (umur 22)Los Angeles, California, Amerika SerikatKebangsaanAmerikaPekerjaanPenyanyiTahun aktif2015–sekarangAgenBrave Entertainment (2015– awal 2019)Karier musikGenreK-popHip-hopInstrumenVokalArtis terkait1PUNCHProduce...

 

Francis Manapul

Filipino Canadian comic book artist and writer Francis ManapulManapul at the New York Comic Con in Manhattan, October 10, 2010.Born (1979-08-26) August 26, 1979 (age 44)Manila, Philippines[citation needed]NationalityCanadianArea(s)ArtistNotable worksWitchbladeThe NecromancerThe FlashAwardsJoe Shuster Award for Outstanding Artist (2011)Inkwell Award for The All-in-One Award (2011)francismanapul.com Francis Manapul (born August 26, 1979) is a Canadian comic book artist and writer. ...

 

Konsonan geser dwibibir nirsuara

ɸ beralih ke halaman ini. Untuk Huruf Yunani, lihat Phi. Untuk Huruf Kiril, lihat Ef (Kiril). Untuk huruf Armenia, lihat Piwr (huruf). Konsonan geser dwibibir nirsuaraɸNomor IPA126Pengkodean karakterEntitas (desimal)ɸUnikode (heks)U+0278X-SAMPAp\KirshenbaumPBraille Gambar Sampel suaranoicon sumber · bantuan Konsonan geser dwibibir nirsuara adalah jenis dari suara konsonan dwibibir yang digunakan dalam berbagai bahasa. Simbol IPAnya adalah ⟨ɸ⟩. Dalam bahasa Indone...

List of acts of the Parliament of Great Britain from 1783

English, Scottish, Irish and Great Britain legislationActs of parliaments of states preceding the United Kingdom Of the Kingdom of EnglandRoyal statutes, etc. issued beforethe development of Parliament 1225–1267 1275–1307 1308–1325 Temp. incert. 1327–1411 1413–1460 1461 1463 1464 1467 1468 1472 1474 1477 1482 1483 1485–1503 1509–1535 1536 1539–1540 1541 1542 1543 1545 1546 1547 1548 1549      1551      1553 1554 1555 &...

 

Tyco International

Pour les articles homonymes, voir Tyco. Tyco International Création 1960 Disparition 2016 Fondateurs Arthur J. Rosenberg (d) Forme juridique Limited Company (d) Action New York Stock Exchange (TYC) Siège social Cork Actionnaires Johnson Controls Filiales TE Connectivity (jusqu'au 29 juin 2007) Site web www.tyco.com modifier - modifier le code - voir Wikidata  Tyco International est un conglomérat constituant un des leaders mondiaux dans la conception, la fabrication, la fourniture et...

 

Torchwood

Pour l'organisation fictive, voir Institut Torchwood. Torchwood Logo original de Torchwood. Données clés Genre Série de science-fiction Création Russell T Davies Acteurs principaux John BarrowmanEve MylesTom PriceKai Owen Pays d'origine Royaume-Uni Chaîne d'origine BBC Three Nb. de saisons 4 Nb. d'épisodes 41 (liste) Durée 52 minutes Diff. originale 22 octobre 2006 – 15 septembre 2011 Site web http://www.bbc.co.uk/torchwood/ modifier - modifier le code - voir Wikidata (aide) Torchwo...

Molly Seidel

American long-distance runner Molly SeidelSeidel in 2018Personal informationBirth nameMolly Elizabeth SeidelBorn (1994-07-12) July 12, 1994 (age 29)Brookfield, WisconsinHeight5 ft 5 in (1.65 m)Weight115 lb (52 kg)SportCountry United StatesSportTrack, long-distance runningEvent(s)5000 m, 10,000 m, Half marathon, MarathonCollege teamNotre Dame Fighting IrishClubPuma[1]Turned pro2017Coached byTim Broe 2017–19Jon Green 2019–present[2]Achievem...

 

HY1935 bayonet

Knife bayonet Chiang Kai-shek rifle with HY1935 bayonet This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: HY1935 bayonet – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2022) (Learn how and when to remove this template message) The Hanyang M1935 bayonet is a bayonet used on the Chinese Chiang Kai-Shek rifle...

 

First Division 1963-1964

First Division 1963-1964 Competizione First Division Sport Calcio Edizione 65ª Organizzatore Federazione calcistica dell'Inghilterra Date dal 24 agosto 1963al 29 aprile 1964 Luogo  Inghilterra Partecipanti 22 Formula Girone all'italiana Risultati Vincitore Liverpool(6º titolo) Retrocessioni BoltonIpswich Town Statistiche Miglior marcatore Jimmy Greaves (35) Incontri disputati 462 Gol segnati 1 571 (3,4 per incontro) Cronologia della competizione 1962-63 1964-65 ...

Momordica charantia

Bitter melon, tropical & subtropical Bitter melon redirects here. For bitter melon in Australia, see Citrullus lanatus. Bitter squash redirects here. For another bitter squash, see Cucurbita digitata. Momordica charantia Scientific classification Kingdom: Plantae Clade: Tracheophytes Clade: Angiosperms Clade: Eudicots Clade: Rosids Order: Cucurbitales Family: Cucurbitaceae Genus: Momordica Species: M. charantia Binomial name Momordica charantiaL. Momordica charantia (commonly called ...

 

友谊勋章 (俄罗斯)

  关于与「友谊勋章 (俄罗斯)」標題相近或相同的条目页，請見「友谊勋章 (消歧义)」。 友谊勋章类型单级勋章（仅设有一个等级）授予原因加强各民族友谊、交流与合作国家／地区俄罗斯 颁发单位 俄羅斯颁授资格俄罗斯国民及世界各民族人民設立時間1994年3月2日[1]首次颁发康斯坦丁·蒂托夫（萨马拉州州长）绶带 优先顺序上等荣誉勋章下等光荣父母�...

 

List of New Japan Pro-Wrestling personnel

New Japan Pro-Wrestling (新日本プロレス, Shin Nihon Puroresu) (NJPW), is a Japanese professional wrestling promotion based in Nakano, Tokyo. NJPW personnel consists of professional wrestlers, commentators, color commentators, ring announcers, referees, trainers, producers, bookers, and various other positions. Executives and board members are also listed. Background NJPW contracts typically range from developmental deals for dojo trainees to full-time contracts. Personnel appear on un...

Piala FA 2002–2003

Piala FA 2002–2003Negara Inggris WalesJuara bertahanArsenalJuaraArsenal(gelar ke-9)Tempat keduaSouthampton← 2001–2002 2003–2004 → Piala FA 2002–2003 adalah edisi ke-122 dari penyelenggaraan Piala FA, turnamen tertua dalam sepak bola di Inggris. Edisi ini dimenangkan oleh Arsenal setelah mengalahkan Southampton pada pertandingan final dengan skor 1–0. Final Artikel utama: Final Piala FA 2003 Arsenal v Southampton 17 Mei 2003 Arsenal 1–0 Southampton Laporan Stadion Mil...

 

Yabuzuka Station

Railway station in Ōta, Gunma Prefecture, Japan This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Yabuzuka Station – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2015) (Learn how and when to remove this message) TI53Yabuzuka Station藪塚駅Yabuzuka Station in December 2014General informationLocation...

 

From the Heart (Ankie Bagger album)

1993 studio album by Ankie BaggerFrom the HeartStudio album by Ankie BaggerReleasedJune 1993LabelSonetAnkie Bagger chronology Where Were You Last Night(1989) From the Heart(1993) Flashback(1995) From the Heart is a 1993 album released by Swedish singer Ankie Bagger. The album peaked at #50 in Sweden.[1] Track listing Where Is Love? (Norell Oson Bard) If You're Alone Tonight (Norell Oson Bard) Coming from the Heart (Norell Oson Bard) Bang Bang (Norell Oson Bard) How Can I Say I...

Austria-Hungaria

Untuk hubungan negara Austria dan Hungaria yang berdaulat modern, lihat Hubungan Austria–Hungaria. Monarki Austria-HungariaAustro-Hungarian Monarchycode: en is deprecated   (Inggris)Österreichisch-Ungarische Monarchiecode: de is deprecated   (Jerman)Osztrák–Magyar Monarchiacode: hu is deprecated   (Hongaria)1867–1918 Lihat pula Bendera Austria Lambang (De jure) Semboyan: Indivisibiliter ac inseparabiliter(Indivisibly and inseparably)(Tak terpisahkan ...

 

Argentina en la Copa Mundial de Fútbol de 1986

ArgentinaCampeón Titular Alternativo Tercero Datos generales Asociación AFA Confederación Conmebol Seudónimo Albiceleste Participación 9.ª Mejor resultado Campeón (1978) Entrenador Carlos Salvador Bilardo Estadísticas Partidos 7 Goles anotados 14 (2 por partido) Goles recibidos 5 (0.71 por partido) Goleador Diego Maradona (5 goles) Cronología Anterior España 1982 Siguiente Italia 1990 La selección de Argentina fue uno de los 24 equipos participantes en la Copa Mundial de Fútbol d...