Hyperbolische meetkunde

Een driehoek op een zadelvorm.

In de wiskunde is de hyperbolische meetkunde, of Bolyai-Lobatsjevski meetkunde, een niet-euclidische meetkunde. In de hyperbolische meetkunde vervangt men het parallellenpostulaat uit de Euclidische meetkunde. Het parallellenpostulaat is in de Euclidische meetkunde equivalent met de bewering dat, in de twee dimensionale ruimte, voor elke gegeven lijn l en een punt P, dat niet op l ligt, er precies één lijn door P loopt, die l niet kruist, dat wil zeggen evenwijdig aan l loopt. In de hyperbolische meetkunde zijn er ten minste twee verschillende lijnen door P die l niet snijden. In de hyperbolische meetkunde wordt dus niet meer aan het parallellenpostulaat voldaan. Binnen de Euclidische meetkunde zijn ruimten gedefinieerd, die aan de axioma's van de hyperbolische meetkunde voldoen, waarmee werd bewezen dat het parallellenpostulaat onafhankelijk is van de andere postulaten van Euclides.

De hyperbolische meetkunde is rond 1830 ontdekt. Grondleggers van de hyperbolische meetkunde waren János Bolyai (1802–1860), die wordt beschouwd als een van de grondleggers van de niet-euclidische meetkunde, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en Nikolaj Lobatsjevski (1792-1856), ook vooral bekend vanwege zijn prestaties op het gebied van de niet-euclidische meetkunde.

Driehoeken

Afstanden in het hyperbolische vlak kunnen worden gemeten in de lengte eenheid , te vergelijken met de straal van de bol in de sferische geometrie. De constante is de Gaussiaanse kromming van het oppervlak. Gebruik makend van deze lengte-eenheid kan eenzelfde soort stelling als de stelling van Pythagoras worden bewezen. Wanneer a, b de zijden zijn en c is de hypotenusa van een rechthoekige driehoek alle gemeten in deze eenheid geldt:

De cosh functie is een hyperbolische functie. In de meetkunde zijn punten en lijnen duaal, goniometrische en hyperbolische functies kunnen in de hyperbolische meetkunde worden verwisseld: de hyperbolische functies zijn van toepassing op de zijden en de goniometrische functies worden toegepast op de hoeken. Bijvoorbeeld de sinus voor hyperbolische driehoeken is:

In de hyperbolische driehoeken is de som van de drie hoeken van een driehoek minder dan 180°. Het verschil wordt het defect genoemd. Het oppervlak van een hyperbolische driehoek wordt gegeven door zijn defect vermenigvuldigd met R² waarbij . Zodoende hebben hyperbolische driehoeken een oppervlak kleiner dan πR². Het oppervlak van een ideale hyperbolische driehoek is gelijk aan dit maximum.

Net als in de sferische geometrie zijn de enige gelijkvormige driehoeken uitsluitend congruente driehoeken.

Zie ook

Literatuur

Read other articles:

Abdalelah Haroun

Abdalelah HarounHaroun pada Kejuaraan Dunia 2017Informasi pribadiNama asliعبد الإله هارونKewarganegaraanSudanQatarLahir1 Januari 1997Al-Soki, Sennar, SudanMeninggal26 Juni 2021(2021-06-26) (umur 24)Doha, QatarTinggi185 m (606 ft 11 in)Berat80 kg (176 pon) OlahragaNegara QatarOlahragaAtletikLomba400 meterDilatih olehLuiz de Oliveira[1]Prestasi dan gelarPeringkat pribadi terbaik400 m: 44.07 (2018)500 m(dalam ruangan): 59.83 WB (S...

 

BTR-3

BTR-3 adalah kendaraan pembawa personel lapis baja 8 × 8 roda dirancang oleh Adcom Manufacturing dari UEA di 2000/2001 dan diproduksi oleh KMDB di Ukraina. Yang paling signifikan dari ekspor adalah untuk Tentara Myanmar yang diperoleh 1.000 BTR-3Us, untuk dirakit di Myanmar. BTR-3U bukan merupakan upgrade dari BTR-80 dan merupakan kendaraan baru mirip dengan desain Soviet. Referensi BTR-3U Armoured Personnel Carrier Diarsipkan 2011-06-06 di Wayback Machine. at KMDB UN register of convention...

 

Tehranpars Metro Station

Station of the Tehran Metro Tehranpars Metro Stationایستگاه مترو تهرانپارسTehran Metro StationGeneral informationLocation Resalat ExpresswayDistricts 4-8, Tehran, Tehran CountyTehran Province, IranCoordinates35°43′51″N 51°31′54″E / 35.7309°N 51.5318°E / 35.7309; 51.5318Operated byTehran Urban and Suburban Railways Organization (Metro)Connections Tehran Buses 402 Tehranpars Int.-Shahrak-e Pars ConstructionStructure typeUndergroundDepth12 ...

WEGA

German audio and video manufacturer For other uses, see Wega. Not to be confused with Vega. WEGASony WEGA logo, 2004Native nameWuerttembergische Radio-Gesellschaft mbhIndustryElectronicsFounded1923; 101 years ago (1923)Stuttgart, GermanyDefunct2005; 19 years ago (2005)FateRebranded as BRAVIASuccessorSony BRAVIAArea servedInternationalProductsRadio and LED television receiversParentSony (1975–2005) Wegavision 2000, TV-prototype 1962, Pinakothek der Moderne...

 

Júbilo Iwata

Júbilo IwataNama lengkapJúbilo IwataJulukanJúbiloBerdiri1970StadionYamaha Stadium,Iwata, Shizuoka(Kapasitas: 16,893)PemilikYamahaKetuaYoshio MabuchiManajerHiroshi NanamiLigaJ1 League2023Ke-2, J2 (promosi)Situs webSitus web resmi klub Kostum kandang Kostum tandang Júbilo Iwata (ジュビロ磐田code: ja is deprecated , Jubiro Iwata) merupakan sebuah tim sepak bola Jepang yang bermain di Divisi 1 J-League dari 2024 dan merupakan salah satu klub tersukses di dalam sejarah J.League. Sej...

 

Capitale libraria

Folio 14 recto del Vergilius romanus, del V secolo, che contiene un ritratto di Virgilio. La capitale libraria, detta anche actuaria, è una scrittura calligrafica maiuscola dell'antica Roma. Indice 1 Descrizione 2 Note 3 Voci correlate 4 Altri progetti 5 Collegamenti esterni Descrizione La capitale libraria è un adattamento della scrittura epigrafica romana nella sua forma consueta. È simile alla capitale quadrata e documentaria ma con forme meno rigide, avendo più influenza sulla scrittu...

Camille Jordan (homme politique)

Pour les articles homonymes, voir Jordan et Camille Jordan. Camille JordanFonctionsMembre de la Chambre des députés des départementsDeuxième législature de la Seconde RestaurationIsère4 octobre 1816 - 19 mai 1821Membre du Conseil des Cinq-CentsRhône12 avril - 4 septembre 1797BiographieNaissance 11 janvier 1771LyonDécès 19 mai 1821 (à 50 ans)Ancien 10e arrondissement de ParisSépulture Cimetière du Père-LachaiseNationalité françaiseActivité Homme politiqueEnfant Joseph-Fra...

 

هنود

هنودمعلومات عامةنسبة التسمية الهند التعداد الكليالتعداد قرابة 1.21 مليار[1][2]تعداد الهند عام 2011ق. 1.32 مليار[3]تقديرات عام 2017ق. 30.8 مليون[4]مناطق الوجود المميزةبلد الأصل الهند البلد الهند  الهند نيبال 4,000,000[5] الولايات المتحدة 3,982,398[6] الإمار...

 

ستيفان التاسع

ستيفان التاسع   معلومات شخصية الميلاد سنة 1000 [1]  دوقية لورين  الوفاة 29 مارس 1058 (57–58 سنة)[2]  فلورنسا  مواطنة دوقية لورين  الديانة مسيحية مناصب بابا الفاتيكان (154 )   في المنصب9 أغسطس 1057  – 29 مارس 1058  فكتور الثاني  نيكولاس الثاني  الحياة ا�...

西遊記大結局之仙履奇緣

本條目存在以下問題，請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。 此條目需要編修，以確保文法、用詞、语气、格式、標點等使用恰当。 (2013年8月6日)請按照校對指引，幫助编辑這個條目。（幫助、討論） 此條目剧情、虛構用語或人物介紹过长过细，需清理无关故事主轴的细节、用語和角色介紹。 (2020年10月6日)劇情、用語和人物介紹都只是用於了解故事主軸，輔助�...

 

The Embarcadero and Brannan station

Brannan & The Embarcadero Muni Metro trains at Brannan & The Embarcadero station in May 2012General informationLocationThe Embarcadero at Brannan StreetSan Francisco, CaliforniaCoordinates37°47′3.72″N 122°23′17.33″W / 37.7843667°N 122.3881472°W / 37.7843667; -122.3881472Line(s)Muni Metro ExtensionPlatforms1 high level island platform2 low level side platformsTracks2ConstructionAccessibleYesHistoryOpenedJanuary 10, 1998[1][2]Ser...

 

United States Space Forces – Space

United States Space Forces – SpaceS4S emblemFounded6 December 2023; 166 daysCountry United StatesBranch United States Space ForceTypeComponent field commandRoleSpace operationsPart ofUnited States Space CommandHeadquartersVandenberg Space Force Base, CaliforniaCommandersCommanderLt Gen Douglas SchiessDeputy CommanderMaj Gen Dennis BythewoodCommand Senior Enlisted LeaderCMSgt Grange S. Coffin IV[1]Military unit The United States Space Forces – Space (S4S, SPACEFOR�...

Gwido Langer

Gwido Langer (interbellum photo) Lt. Col. Karol Gwido Langer (Zsolna, Austria-Hungary, 2 September 1894 – 30 March 1948, Kinross, Scotland) was, from at least mid-1931, chief of the Polish General Staff's Cipher Bureau, which from December 1932 decrypted Germany's military Enigma-machine ciphers. Poland's prewar achievements paved the way for Britain's World War II Ultra secret. Life Polish Cipher BureauBiuro Szyfrów Methods and technology ANX Enigma double Grill Clock Cyclometer Card ...

 

Minister of State for the Middle East, North Africa, South Asia and United Nations

United Kingdom government position United KingdomMinister of State for the Middle East, North Africa, South Asia, Commonwealth and United NationsRoyal Arms of His Majesty's GovernmentIncumbentThe Lord Ahmad of Wimbledonsince 13 June 2017Foreign, Commonwealth and Development OfficeStyleMinisterNominatorPrime MinisterAppointerThe King(on the advice of the Prime Minister)Term lengthAt His Majesty's pleasureFormationJuly 2016 (First May ministry)First holderJoyce Anelay, Baroness AnelayWebsi...

 

Ministry of Transport (Japan)

Ministry of Transport (運輸省, Un'yu-shō) was a ministry of the Japanese government. It managed 849 public corporations before its 2001 merger. It merged into the Ministry of Land, Infrastructure, Transport and Tourism (MLIT) in January 2001.[1] References ^ Carpenter, Susan. Why Japan Can't Reform: Inside the System. Palgrave Macmillan/Springer Publishers, 2008. ISBN 0230595065, 9780230595064. p. 12. Same content appears in: Carpenter, Susan. Japan's Nuclear Crisis: The Rout...

Coffee

Brewed beverage made from coffee beans This article is about the beverage. For other uses, see Coffee (disambiguation). CoffeeEspresso latte and black filtered coffeeTypeUsually hot, can be icedCountry of origin Yemen[1]Introduced15th centuryColorBlack, dark brown, light brown, beigeFlavorDistinctive, somewhat bitterIngredientsRoasted coffee beans Coffee is a beverage brewed from roasted coffee beans. Darkly colored, bitter, and slightly acidic, coffee has a stimulating effect on...

 

Hold the Line

1978 single by Toto This article is about Toto song. For other uses, see Hold the Line (disambiguation). Hold the LineSingle by Totofrom the album Toto B-sideTakin' It BackReleasedSeptember 1978 (1978-09)Recorded1978StudioStudio 55(Los Angeles, California)GenreHard rockarena rockyacht rock[1]Length3:29 (Single Version)3:56 (Album Version)LabelColumbiaSongwriter(s)David PaichProducer(s)TotoToto singles chronology Hold the Line (1978) I'll Supply the Love (1979) Alternative co...

 

Gstadt am Chiemsee

Gstadt am Chiemsee. Gstadt am Chiemsee adalah kota yang terletak di distrik Rosenheim di Bayern, Jerman. Kota Gstadt am Chiemsee memiliki luas sebesar 10.70 km². Gstadt am Chiemsee pada tahun 2006, memiliki penduduk sebanyak 1.388 jiwa. lbsKota dan kotamadya di Rosenheim Albaching Amerang Aschau im Chiemgau Babensham Bad Aibling Bad Endorf Bad Feilnbach Bernau am Chiemsee Brannenburg Breitbrunn am Chiemsee Bruckmühl Chiemsee Edling Eggstätt Eiselfing Feldkirchen-Westerham Flintsbach F...

الصباح (جريدة تونسية)

  لمعانٍ أخرى، طالع الصباح (توضيح). يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (فبراير 2016)   هذه المقالة عن صحيفة الصباح التونسية. لشيء اخر بنفس الاسم، ...

 

Pelletizing

Compressing a material to form a pellet This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Pelletizing – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2010) (Learn how and when to remove this message) Pelletizing is the process of compressing or molding a material into the shape of a pellet. A wide rang...