Meyer begon in 2000 met voetballen bij FC Sardegna Oberhausen. In 2002 werd hij opgenomen in de jeugdopleiding van Rot-Weiß Oberhausen, die hij in 2004 verruilde voor die van de club uit zijn geboortestad, MSV Duisburg. Schalke 04 haalde hem in 2009 vandaaruit naar de eigen jeugdopleiding. Tijdens het seizoen 2012/13 produceerde hij in de jeugd elf doelpunten en elf assists in vijftien wedstrijden. Meyer zat op 9 februari 2013 op de bank bij het eerste elftal tijdens een wedstrijd tegen Bayern München. Na het vertrek van Lewis Holtby en blessures bij enkele andere spelers, behoorde hij tot de selectie voor een Champions League-duel tegen Galatasaray SK op 20 februari 2013. Op 16 februari 2013 debuteerde Meyer daadwerkelijk in het eerste elftal van Schalke 04, tegen FSV Mainz 05. Hij viel die wedstrijd achttien minuten voor tijd in voor Raffael, bij een 1-2-achterstand. Hij gaf een assist op Michel Bastos waardoor Schalke 04 een gelijkspel afdwong. Meyers contract werd op 7 mei 2013 met twee jaar verlengd. Hij veranderde van rugnummer 29 naar 7, het nummer dat voor hem werd gedragen door Raúl. Op 5 oktober 2013 scoorde hij zijn eerste doelpunt in de Bundesliga, tegen Augsburg. Op 30 november 2013 werd zijn contract sterk opgewaardeerd en verlengd tot medio 2018. Hij beëindigde het seizoen 2013/14 met zes doelpunten in 30 competitieduels.
Hij tekende in augustus 2018 een contract tot medio 2021 bij Crystal Palace, dat hem transfervrij overnam van Schalke 04. In januari 2021 werd zijn contract ontbonden. Meyer vervolgde zijn loopbaan bij 1. FC Köln. In 2021 tekende hij bij het Turkse Fenerbahçe.
