Eagleburger behaalde een bachelor- en masterdiploma aan de Universiteit van Wisconsin. Van 1952 tot 1954 diende hij in het Amerikaanse leger, waar hij de rang van eerste luitenant bereikte. vanaf 1957 werkte hij voor de Amerikaanse consulaire dienst. Van 1961 tot 1965 werkte hij op de Amerikaanse ambassade in Belgrado. Vanaf 1969 was hij assistent van Henry Kissinger. Eagleburger werd in 1977 door president Carter tot ambassadeur in Joegoslavië benoemd. President Reagan benoemde hem tot onder-secretaris van het State Department. Onder president George H.W. Bush was hij korte tijd (eind 1992 - begin 1993) secretary of state (minister van buitenlandse zaken).
Eagleburger overleed op 80-jarige leeftijd aan longontsteking.