Najer won het Russische jeugdkampioenschap in de categorie tot 20 jaar.
In 1996 won hij een toernooi in Pardubice, in 1998 kon hij opnieuw in Pardubice winnen, waarbij hij zijn eerste GM-norm behaalde. De GM-titel kreeg hij in 1999.
In 1998 en in 2003 won hij het schaakkampioenschap van de stad Moskou.[2][3]
In augustus 2002 won hij het US Open in Cherry Hill Township, New Jersey (gedeeld eerste met Gennadi Zaichik).[4]
In maart 2004 won hij het Cappelle-la-Grande-Open.[5]
In de 32e World Open dat werd gehouden van 30 juni t/m 4 juli 2004 in het Adams Mark Hotel in Philadelphia, werd Najer na een tie-break derde.
In mei 2005 speelde Najer mee in het open Global Chess Challenge toernooi dat in Minneapolis verspeeld werd. Dit toernooi werd met 7.5 punt gewonnen door Zviad Izoria; er waren zeven spelers met 7 punten, onder wie Najer.
In juli 2005 werd in Jeruzalem het Maccabiade gespeeld. Najer won met 3.5 punt uit vijf wedstrijden.
Eveneens in juli 2005 speelde Najer mee in het Czech open en eindigde daar met 7 punten uit 9 ronden op een gedeelde tweede plaats. Andrej Kovaljov werd eerste met 7.5 punt.
In sept. 2005 speelde Najer mee in de semi-finale om het kampioenschap van Rusland dat in Kazan gespeeld werd en waar hij met 6.5 punt uit negen ronden op een gedeelde derde plaats eindigde.
In februari 2007 won hij, na een tiebreak met Vasily Yemelin, het derde Moskou Open toernooi, dat plaatsvond in de Universiteit voor Sociale Wetenschappen.[7]
↑Het Richard Riordan Schaakfestival werd gesponsord door de voormalige burgemeester van Los Angeles; het bevatte diverse toernooien voor spelers van diverse spelniveaus: Chessdom artikel