Inversie (meetkunde)

P en Q zijn elkaars cirkelinversen.
Twee cirkels (groen en blauw) als elkaars inverse in de rode cirkel.
Een lijn (groen) en cirkel (blauw) door het middelpunt van de inversiecirkel als beeld van elkaar.
Constructie van inversie.
Andere constructie van inverse.

Inversie heeft in de meetkunde twee verschillende betekenissen. Het gaat in beide gevallen om een soort afbeelding.

Er wordt in dit artikel vooral op de inversie ingegaan die synoniem is met cirkelspiegeling. Met deze betekenis is het een soort spiegeling in een cirkel in het platte vlak.

Een puntspiegeling wordt ook een inversie genoemd. Een puntspiegeling beeldt een vector in tegengestelde richting af.

Definities voor de cirkelspiegeling

We nemen een cirkel C met middelpunt M en straal r. Gegeven een punt P, dan is de inverse van P in C het punt Q op de halve lijn MP zodat

  • r2 heet de macht van inversie,
  • M is het centrum van inversie.

Het beeld van een punt onder inversie heet zijn inverse.

Een middencirkel van twee cirkels C1 en C2 is een cirkel C die door inversie C1 en C2 op elkaar afbeeldt.

Eigenschappen

  • De inverse van de inverse van een punt is het punt zelf.
  • Inversie beeldt in het algemeen cirkels af op cirkels of lijnen. Deze lijnen zijn op te vatten als ontaarde cirkels, met oneindige straal. In het bijzonder is het beeld van een cirkel door M een lijn, en het beeld van een cirkel niet door M is een cirkel niet door M.
  • Het middelpunt van een cirkel, het middelpunt van zijn inverse en M liggen op één lijn, meer specifiek is M een gelijkvormigheidscentrum van de twee cirkels.
  • Gegeven de inversie met centrum M en macht p, is het beeld van een cirkel met middelpunt A en straal r, met afstand d tussen M en A, een cirkel met straal en middelpunt
  • Cirkels die C loodrecht snijden zijn invariant onder inversie.
  • Inversie behoudt hoeken.
  • Als A en B de snijpunten zijn van MP met C, dan liggen (A,B) en (P,Q) harmonisch.

Constructie

  • Constructie van de inverse Q van een punt P in het inwendige van C:
    1. Construeer de lijn d door P loodrecht op MP
    2. Snijdt d met C, noem de snijpunten R en R',
    3. Construeer de cirkel door M, R en R',
    4. Het tweede snijpunt van deze cirkel en MP is het gezochte punt Q.
  • Constructie van de inverse P van een punt Q in het uitwendige van C:
    1. Construeer de cirkel met diameter MQ,
    2. Snijdt de twee cirkels, noem de snijpunten R en R',
    3. Het snijpunt van RR' en MQ is het gezochte punt P.
  • Alternatieve constructie van de inverse:
    1. Neem een punt op de inversiecirkel S1,
    2. Construeer de raaklijn aan S1 door dit punt,
    3. Construeer de middelloodlijn van het gegeven punt (A of B) en het punt op S1,
    4. Snij deze twee lijnen, het snijpunt is het middelpunt van een cirkel S2 loodrecht op S1 door het gegeven punt,
    5. Het tweede snijpunt van de lijn door het inversiecentrum O en het gegeven punt met S2 is de inverse.
  • Nog een alternatief voor een constructie van de inverse met enkel passer en liniaal:
    1. Trek een lijn L door het te inverteren punt P en het centrum M
    2. Trek nog een andere lijn door P die de inversiecirkel C op twee plaatsen snijdt, noem de snijpunten S en S´
    3. Draai een cirkel door S rondom een punt op L anders dan M
    4. Trek een lijn door S´ en het tweede snijpunt van deze cirkel met de inversiecirkel
    5. Het snijpunt van deze lijn met de lijn L is de inverse van punt P
  • Nog een alternatief voor een constructie van de inverse met enkel passer en liniaal, voor als het middelpunt M van de inversiecirkel niet bekend is:
    1. Trek een lijn door P die de inversiecirkel op twee plaatsen snijdt, maar duidelijk niet een diameter is. Noem de snijpunten U en V
    2. Draai een cirkel om P door U. Noem het andere snijpunt van de twee cirkels W
    3. Trek een lijn P en W. Noem het andere snijpunt met de inversiecirkel X
    4. Het snijpunt van de lijnen door VW resp. UX is de inverse van punt P

Read other articles:

Arifin Tasrif

Ir.Arifin TasrifPotret sebagai menteri Menteri Energi dan Sumber Daya Mineral Indonesia ke-18PetahanaMulai menjabat 23 Oktober 2019PresidenJoko WidodoWakil PresidenMa'ruf Amin PendahuluIgnasius JonanPenggantiPetahanaDuta Besar Indonesia untuk Jepang dan Federasi MikronesiaMasa jabatan22 Juni 2017 – 23 Oktober 2019PresidenJoko WidodoWakil PresidenJusuf Kalla Ma'ruf Amin PendahuluYusron Ihza MahendraPenggantiHeri Akhmadi Informasi pribadiLahir19 Juni 1953 (umur 70)Jakart...

 

Istana Arau

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Oktober 2022. Tata letak dan tata ruang di dalam Balairung Seri, salah satu bangunan di dalam Istana Arau. Istana Arau terletak di Bandar Arau, Perlis. Istana ini merupakan bekas pusat pemerintahan negeri Perlis. Pemakaian Istana Arau hanya pada masa awal pemerintah...

 

A.C. Perugia Calcio

PerugiaNama lengkapAssociazione Calcistica Perugia Calcio S.r.l.JulukanI Grifoni (The Griffins)Berdiri1905StadionStadion Renato Curi,Perugia, Italia(Kapasitas: 28,000)KetuaMassimiliano SantopadrePelatih kepalaSerse CosmiLigaSerie B2018–20192018–19, ke-8 (dari 19)Situs webSitus web resmi klub Kostum kandang Kostum tandang Kostum ketiga Associazione Calcistica Perugia Calcio adalah sebuah tim sepak bola Italia yang berbasis di Perugia, Italia. Tim ini didirikan tahun 1905. Sekarang, ti...

Rougeole

Rougeole Exanthème morbilliforme, éruption typique de rougeole. Données clés Causes Virus de la rougeole (Genre Morbillivirus / Famille Paramyxoviridae) Transmission Transmission aéroportée (d) Incubation min 6 j ou 7 j Incubation max 19 j ou 21 j Symptômes Fièvre, toux, rhinorrhée, éruption maculopapuleuse (en), adénopathie, anorexie, diarrhée, Signe de Köplik, conjonctivite et catarrhe oculo-nasal (d) Traitement Prévention Vaccination Traitement Soins de support (d) Spéciali...

 

Tempat Pemakaman Yahudi Harburg

Tempat Pemakaman Yahudi Harburg Tempat Pemakaman Yahudi Harburg (Jerman: Jüdische Friedhof Harburgcode: de is deprecated ) adalah sebuah tempat pemakaman khusus untuk jemaat Yahudi Harburg-Wilhelmsburg yang terletak di kawasan Harburg di Hamburg, tepatnya di Schwarzenbergstraße. Tempat pemakaman ini memiliki luas sekitar dua hektare. Tempat pemakaman ini kemungkinan sudah ada semenjak kedatangan orang Yahudi di Harburg pada permulaan abad ke-17. Tempat Pemakaman Yahudi Harburg sempat dirusa...

 

Surat Paulus kepada Jemaat di Kolose

Bagian dari Alkitab KristenPerjanjian BaruLukas 7:36-37 pada Papirus 3 Injil Matius Markus Lukas Yohanes SejarahKisah Para Rasul Surat Surat-surat Paulus Roma 1 Korintus 2 Korintus Galatia Efesus Filipi Kolose 1 Tesalonika 2 Tesalonika 1 Timotius 2 Timotius Titus Filemon Ibrani Surat-surat umum Yakobus 1 Petrus 2 Petrus 1 Yohanes 2 Yohanes 3 Yohanes Yudas ApokalipsWahyu Perjanjian Lama Portal Kristenlbs The first page of Colossians in Minuscule 321 gives its title as προς κολ�...

Compulsory voting

Practice of requiring all eligible citizens to register and vote in elections   Compulsory voting, enforced.   Compulsory voting, not enforced.   Compulsory voting, enforced (only men).   Compulsory voting, not enforced (only men).   Historical: the country had compulsory voting in the past. Part of the Politics seriesVoting Balloting Ballots Absentee ballot Provisional ballot Sample ballot Candidates and Ballot measures Write-in candidate Electorate Slate Ticket...

 

SMA Negeri 104 Jakarta

SMA Negeri 104 JakartaInformasiDidirikan1990JenisNegeri di bawah DiknasAkreditasiA [1]Nomor Statistik Sekolah301001640182Nomor Pokok Sekolah Nasional20103291Kepala SekolahMayva Dwi WulandadiKetua KomiteH. Puguh Budi Raharjo, MBAJumlah kelasX MIPA: 4 kelasX IPS: 4 kelasXI MIPA: 5 kelasXI IPS: 3 kelasXII IPA: 5 kelasXII IPS: 3 kelasJurusan atau peminatanMIIA, IIS, IPA dan IPSRentang kelasX MIIA, X IIS, XI IPA, XI IPS, XII IPA, XII IPSKurikulumKurikulum Tingkat Satuan Pend...

 

Angophora costata

Angophora costata Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Plantae (tanpa takson): Angiospermae (tanpa takson): Eudikotil (tanpa takson): Rosidae Ordo: Myrtales Famili: Myrtaceae Genus: Angophora Spesies: A. costata Nama binomial Angophora costata(Gaertn.) Britten Sinonim Eucalyptus apocynifolia Brooker Angophora costata adalah sebuah pohon hutan dan dataran berkayu umum di Australia Timur. Tumbuhan tersebut dikenal dengan berbagai nama yang meliputi smooth-barked apple, rose gum, rose apple atau S...

HarbourFront MRT station

Mass Rapid Transit station in Singapore  NE1  CC29 HarbourFront港湾துறைமுகம் Mass Rapid Transit (MRT) interchange and terminusExit D of HarbourFront MRT stationGeneral informationLocation81 Telok Blangah RoadSingapore 098867[1]Coordinates01°15′55″N 103°49′20″E / 1.26528°N 103.82222°E / 1.26528; 103.82222Operated bySBS Transit Ltd (ComfortDelGro Corporation) (North East line)SMRT Trains Ltd (SMRT Corporation) (...

 

Pearl, Mississippi

City in Mississippi, United StatesPearl, MississippiCityCity of PearlRiverwind Drive FlagSealLogoNickname: The Pearl of the SouthMotto: The City Creating Its Own Future[1]Location of Pearl in Rankin County, MississippiLocation of Mississippi in the United StatesPearl, MississippiLocation of Pearl in the United StatesCoordinates: 32°16′19″N 90°06′19″W / 32.27194°N 90.10528°W / 32.27194; -90.10528CountryUnited StatesStateMississippiCountyRa...

 

Liste des comarques de Catalogne

Cet article est une ébauche concernant la géographie de la Catalogne. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Le territoire de la Catalogne est divisé en comarques (en catalan comarca, pluriel comarques), niveau administratif comparable aux communautés de communes françaises mais avec des territoires un peu plus étendus. Ce sont des regroupements de communes réunissant en moyenne une trentaine de ...

Tiémoué Bakayoko

Pour les articles homonymes, voir Bakayoko. Tiémoué Bakayoko Tiémoué Bakayoko avec le Chelsea FC (2017). Situation actuelle Équipe FC Lorient Numéro 14 Biographie Nationalité Français Ivoirien Nat. sportive Français Naissance 17 août 1994 (29 ans) Paris (France) Taille 1,89 m (6′ 2″) Période pro. 2013 - Poste Milieu défensif Pied fort Droit Parcours junior Années Club 2000-2004 Olympique de Paris XVe 2004-2006 CA Paris 14 2006-2008 Montrouge FC 92 2008-2013 St...

 

Himation

Patung-patung di Rumah Kleopatra di Delos, Yunani. Pria dan wanita mengenakan himation. Himation (bahasa Yunani Kuno: ἱμάτιον, translit. himátion) adalah jenis pakaian, mantel atau bungkus yang dikenakan oleh pria dan wanita Yunani kuno dari periode Arkais hingga Helenistik (k. 750–30 SM). Pakaian ini biasanya dikenakan di atas khiton dan/atau peplos, tetapi terbuat dari tirai yang lebih berat dan berperan sebagai jubah atau selendang. Ketika himation digunakan sendiri, ta...

 

Otter Island (Wisconsin)

Island in Wisconsin, United States Otter Island Otter Island is one of the Apostle Islands in Northern Wisconsin, in Lake Superior, and is part of the Apostle Islands National Lakeshore.[1] There is another Otter Island in Iowa County, in the Wisconsin River. Notes ^ Apostle Islands National Lakeshore (U.S. National Park Service). 46°59′46″N 090°41′28″W / 46.99611°N 90.69111°W / 46.99611; -90.69111 vteApostle IslandsIslands Madeline Island Stockton ...

Siège de Privas

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (septembre 2016). Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ». En pratique : Quelles sources sont attendues ?...

 

Wayuu people

Indigenous South American ethnic group of the Guajira Peninsula Wayuu redirects here. For other uses, see Wayuu (disambiguation). Ethnic group WayuuWayúu people engaged in a courtship danceTotal populationApprox. 413,437 in Venezuela (2011 Census)[1]Approx. 380,460 in Colombia (2018 Census)[2]Regions with significant populationsLa Península Guajira  Colombia and  VenezuelaLanguagesWayuu, SpanishReligionTraditional, Roman Catholicism (mixed), many Protestant Christi...

 

2024 Minnesota Democratic presidential primary

2024 Minnesota Democratic presidential primary ← 2020 March 5, 2024 2028 → ← MANC →92 delegates (75 pledged and 17 unpledged) to the Democratic National Convention   Candidate Joe Biden Uncommitted Dean Phillips Home state Delaware – Minnesota Delegate count 64 11[1] 0 Popular vote 171,278 45,914 18,960 Percentage 70.1% 18.8% 7.8% Results by county Results by congressional district Results by state house district Biden...

debu

Gumpalan debu Debu, lebu, atau habuk adalah nama umum untuk sejumlah partikel padat kecil dengan dimeter kurang dari 500 mikrometer (lihat juga pasir atau granulat). Di atmosfer Bumi, debu berasal dari sejumlah sumber: loess yang disebarkan melalui angin, letusan gunung berapi, pencemaran, dll. Debu udara dianggap aerosol dan bisa memiliki tenaga radiasi lokal yang kuat di atmosfer dan berpengaruh pada iklim. Di samping itu, jika sejumlah partikel kecil disebarkan ke udara di daerah tertentu ...

 

Hellfire Club (comics)

Fictional society in the Marvel Comics universe Hellfire ClubCover for X-Men: Legacy #210, art by David Finch.Publication informationPublisherMarvel ComicsFirst appearanceThe Uncanny X-Men #129 (January 1980)Created byChris Claremont John ByrneIn-story informationBase(s)VariousMember(s) Sebastian Shaw Emma Frost Harry Leland Jason Wyngarde Donald Pierce Tessa Selene Magneto Storm Shinobi Shaw Trevor Fitzroy Madelyne Pryor Sat-yr-9 Phoenix Sunspot Iron Monger Azazel The Hellfire Club is a fict...