Kan. Matas Cijūnaitis gimė lenkiškai kalbančioje šeimoje, mokėsi lenkų internate. 1909 m. įšventintas kunigu. 1910 m. paskirtas vikaru į Švenčionis, 1911 m. – į Stakliškes, 1911–1915 m. tas pareigas ėjo Merkinėje. Dirbdamas lietuviškose parapijose, tapo susipratusiu lietuviu, ėmė puoselėti lietuvybęi.[2][3]
1940 m. pabaigoje Žaslių bažnyčioje buvo kilę neramumų dėl vietos lenkų mažumos reikalavimų įvesti lenkiškas pamaldas.[2] Klebonas buvo iškviestas pasiaiškinti pas NKVD tardytojus. Antrojo pasaulinio karo pradžioje M. Cijūnaitis, būdamas Žaslių klebonu, padėjo vietos žydams: slėpė Žaslių gydytoją Rivą Trapidienę ir jos mažametį sūnų Leibą.[4] 1946 m. sovietų valdžia kleboną suėmė ir nuteisė pustrečių metų pataisos darbų lagerio. 1949 m. grįžo į Lietuvą.[5] 1950-1952 m. klebonavo Krivonyse, 1952-1955 m. – Žasliuose.
M. Cijūnaitis mirė 1955 m. rugsėjo 6 d. Žasliuose. Palaidotas Žaslių bažnyčios šventoriuje, prie koplyčios sienos.