Tėvams persikėlus, nuo kūdikystės augo Želtiškių dvare. 1893 m. baigė Vilniaus 2-ąją gimnaziją. 1893–1898 m. studijavo Maskvos universiteto Medicinos fakultete, įgijo gydytojo išsilavinimą. Studijų metais parvažiuodamas į Skiemonių kraštą skleidė lietuvybės dvasią, skatindamas kalbėti tik lietuviškai.
1902 m. vėl grįžęs į Lietuvą, gyveno ir dirbo gydytoju Ukmergėje, vadovavo Zarasų ligoninei, vėl privačiu gydytoju Ukmergėje, 1906–1908 m. privatus gydytojas Rozalime. Bendradarbiavo spaudoje, nuo 1905 m. rašė „Vilniaus žinioms“ ir kitiems leidiniams.
1909 m. baigė bakteriologijos kursus ir kelis mėnesius kovojo su cholera ir dėmėtąja šiltine Panevėžio apskrityje. 1909 m. vėl išvyko į Vakarų Europą, 1909–1910 m. Vienoje ir Berlyne studijavo ausų, nosies ir gerklės ligas, įgijo medicinos daktaro mokslinį laipsnį. Nuo 1910 m. gyveno ir dirbo gydytoju Kaune, per Pirmąjį pasaulinį karą – Raudonojo Kryžiaus vyriausioje šiaurės fronto tarnyboje.
1918 m. grįžęs į Lietuvą, apsistojo Vilniuje ir įsijungė į Lietuvos Valstybės tarybos sudarytą Sveikatos komisiją, kurios nariai buvo Jonas Basanavičius, Steponas Kairys ir Justinas Staugaitis. Ši komisija 1918 m. lapkričio 11 d. buvo pertvarkyta į Vidaus reikalų ministerijos Sveikatos departamentą. Nuo 1918 m. lapkričio mėn. iki 1919 m. kovo mėn. – antrojo ministrų kabineto Vidaus reikalų viceministras ir pirmasis LR Sveikatos departamento direktorius. Pagrindinis jo vadovaujamo departamento uždavinys buvo parengti naujus įstatymus ir teisinį sveikatos sistemos pagrindą, spręsti aktualias organizacines problemas. Vienu iš pirmųjų savo įsakymų J. Alekna paskyrė 20 apskričių gydytojus ir nustatė jų pareigas.
Lenkams užėmus Vilnių persikėlė į Kauną, nuo 1920 m. Kauno Raudonojo Kryžiaus ligoninės Ausų, nosies ir gerklės ligų skyriaus vedėjas. 1919 m. kartu su kitais įkūrė Lietuvos Raudonojo Kryžiaus ir Kauno medicinos draugijas, vėliau rūpinosi jų veikla, 1939–1940 m. Lietuvos Raudonojo Kryžiaus draugijos pirmininkas.
1919 m. vykdomosios komisijos, rengusios pagrindą Aukštiesiems kursams Kaune steigti, narys, 1919–1920 m. paruošė bazę Lietuvos universitetui įkurti ir pats dėstė Aukštuosiuose kursuose.
Visur stengėsi suburti žmones visuomeninei veiklai, bendradarbiavo periodinėje spaudoje, daugiausia rašė žurnale „Medicina“, redagavo laikraštį „Santara“.
1919 m. birželį, kai buvo įsteigta Lietuvos Skautų Paspirties Draugija, nustačiusi Lietuvos skautijos organizacinę tvarką, J. Alekna buvo pirmasis šios draugijos pirmininkas. Jis taip pat buvo žymus lietuviškosios skautybės ugdytojas ir rėmėjas, pirmasis Lietuvių skautų sąjungos šefas, vėliau šefo pavaduotojas, vyresnysis skautininkas, Akademinio skautų sąjūdžio korporacijos „Vytis“ Garbės narys. Palaidotas Kauno Petrašiūnų kapinėse-panteone.[1]
