Dar besimokydamas vidurinėje mokykloje dirbo statistu Kauno muzikiniame teatre. 1961 m. baigė Lietuvos konservatoriją, solinio dainavimo mokytojai Kipras Petrauskas, Aleksandra Staškevičiūtė. Dar būdamas paskutiniajame kurse, 1961 m. Kauno muzikiniame teatre parengė įsimenantį vaidmenį A. Rubinšteino operai „Demonas“.
1985 m. už nuopelnus muzikos ir teatro menui bei aktyvią visuomeninę veiklą jam buvo suteiktas Lietuvos SSR nusipelniusio artisto garbės vardas.[2]
Atminimo įamžinimas
2000 11 11 Kauno centre ant namo (Laisvės al. 110) atidengta memorialinė lenta: „Šiame name 1975–1990 m. gyveno Kauno Valstybinio muzikinio teatro solistas Anicetas Kunčius“ (skulpt. Stasys Žirgulis)[2][3][4]