완비 정칙 공간 ${\displaystyle X}$와 그 부분 공간 ${\displaystyle Y\subseteq X}$가 주어졌다고 하자. 닫힌집합 ${\displaystyle C\subseteq Y}$ 및 ${\displaystyle y\in Y\setminus F}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle C=F\cap Y}$인 닫힌집합 ${\displaystyle F\subseteq X}$가 존재하며, 이에 대하여 ${\displaystyle f(y)=0}$, ${\displaystyle f(F)=\{1\}}$인 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$이 존재한다. ${\displaystyle g=f\upharpoonright Y}$라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle g}$는 연속 함수이며, ${\displaystyle g(y)=0}$ 및 ${\displaystyle g(C)=\{1\}}$을 만족시킨다.

완비 정칙 공간들의 집합 ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. 곱공간 ${\displaystyle X=\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$의 닫힌집합 ${\displaystyle C}$ 및 ${\displaystyle x\in X\setminus C}$가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 ${\displaystyle x}$의 열린 근방 ${\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}U_{i}}$를 취하자.

${\displaystyle x\in \prod _{i\in I}U_{i}\subseteq X\setminus C}$

${\displaystyle U_{i}\in \operatorname {Open} (X_{i})}$

${\displaystyle U_{i}=X_{i}\qquad \forall i\in I\setminus \{i(1),\dotsc ,i(n)\}}$

그렇다면 각 ${\displaystyle j\in \{1,\dotsc ,n\}}$에 대하여, ${\displaystyle f_{j}(x_{i(j)})=0}$, ${\displaystyle f_{j}(X_{i(j)}\setminus U_{i(j)})=\{1\}}$인 연속 함수 ${\displaystyle f_{j}\colon X_{i(j)}\to [0,1]}$이 존재한다.

${\displaystyle g\colon X\to [0,1]}$

${\displaystyle g\colon y\mapsto 1-(1-f_{1}(y_{i(1)}))\cdots (1-f_{n}(y_{i(n)}))}$

라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle g}$는 연속 함수이며, ${\displaystyle g(x)=0}$ 및 ${\displaystyle g(C)=\{1\}}$을 만족시킨다.

${\displaystyle X}$가 하우스도르프 공간임은 정의에 따라 쉽게 확인할 수 있다. 완비 하우스도르프 조건을 확인하기 위해, 서로 다른 두 점 ${\displaystyle (x,y),(x',y')\in X}$가 주어졌다고 하자. 편의상 ${\displaystyle (x,y)\neq (0,-1)}$이라고 하자. 하우스도르프 조건에 따라, ${\displaystyle U}$와 ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle (x,y)}$와 ${\displaystyle (x',y')}$의 서로소 국소 기저 원소라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle U}$는 열린닫힌집합이다. 따라서, 지시 함수 ${\displaystyle 1_{U}\colon X\to [0,1]}$은 연속 함수이며, ${\displaystyle (x,y)}$와 ${\displaystyle (x',y')}$을 분리한다.

이제, ${\displaystyle X}$의 정칙성을 확인하자. ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} \times [0,\infty )}$의 국소 기저 원소들은 열린닫힌집합이므로, 임의의 ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} \times [0,\infty )}$는 이를 포함하지 않는 닫힌집합과 서로소 근방을 통해 분리된다. 따라서, ${\displaystyle (0,-1)}$과 ${\displaystyle (0,-1)\not \in F}$인 임의의 닫힌집합 ${\displaystyle F}$를 서로소 근방으로 분리하는 것으로 충분하다.

${\displaystyle (\{(0,-1)\}\cup [n,\infty ))\cap F=\varnothing }$

인 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$을 취하자. 그렇다면

${\displaystyle U=\{(0,-1)\}\cup [n+2,\infty )\times \mathbb {R} }$

${\displaystyle V=X\setminus (\{(0,-1)\}\cup [n+2,\infty )\times \mathbb {R} \cup [n,n+2]\times \{0\})}$

는 각각 ${\displaystyle (0,-1)}$와 ${\displaystyle F}$의 열린 근방이며, ${\displaystyle U\cap V=\varnothing }$이다.

이제, ${\displaystyle X}$가 티호노프 공간이 아님을 보이자. ${\displaystyle [0,1]\times \{0\}}$은 닫힌집합이며, ${\displaystyle (0,-1)\not \in [0,1]\times \{0\}}$이다. ${\displaystyle f([0,1]\times \{0\})=\{0\}}$인 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$가 항상 ${\displaystyle f((0,-1))=0}$을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 각 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여 ${\displaystyle K_{n}=f^{-1}(0)\cap ([n,n+1]\times \{0\})}$이 무한 집합임을 보이는 것으로 충분하다. 수학적 귀납법을 사용하여, 가산 무한 집합 ${\displaystyle C\subseteq K_{n}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle (c,0)\in C}$에 대하여,

${\displaystyle \{(c+y,y)\colon y\in [0,2]\}\setminus f^{-1}(0)=\bigcup _{i=1}^{\infty }\{(c+y,y)\colon y\in [0,2]\}\setminus f^{-1}((-1/i,1/i))}$

는 가산 개의 유한 집합의 합집합이므로 가산 집합이다. ${\displaystyle C}$가 가산 집합이므로,

${\displaystyle P=\left\{(x,0)\colon (x,y)\in \bigcup _{c\in C}\{(c+y,y)\colon y\in [0,2]\}\setminus f^{-1}(0)\right\}}$

은 가산 집합이며, ${\displaystyle ([n+1,n+2]\times \{0\})\setminus P}$는 무한 집합이다. 임의의 ${\displaystyle (x,0)\in ([n+1,n+2]\times \{0\})\setminus P}$ 및 ${\displaystyle (c,0)\in C}$에 대하여, ${\displaystyle \{x\}\times [0,2]}$와 ${\displaystyle \{(c+y,y)\colon y\in [0,2]\}}$의 교점은 ${\displaystyle f^{-1}(0)}$에 속한다. ${\displaystyle C}$가 무한 집합이므로, ${\displaystyle (x,0)}$의 모든 근방은 ${\displaystyle f^{-1}(0)}$의 점을 포함한다. ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle (x,0)}$에서의 연속성에 따라 ${\displaystyle f((x,0))=0}$이다. 즉, ${\displaystyle ([n+1,n+2]\times \{0\})\setminus P\subseteq K_{n+1}}$이며, ${\displaystyle K_{n+1}}$은 무한 집합이다.

니미츠키 평면이 하우스도르프 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 완비 정칙 조건을 확인하자. 위상 공간의 부분 기저 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$가 주어졌을 때, 완비 정칙 조건은 임의의 ${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}}$와 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle s}$와 ${\displaystyle S}$의 여집합이 실함수를 통해 분리되는 것과 동치이다. ${\displaystyle \mathbb {R} \times [0,\infty )}$는 통상적인 위상을 주었을 때 티호노프 공간이며, 니미츠키 평면의 위상은 통상적인 위상보다 섬세하므로, 모든 통상적인 열린집합의 점과 그 여집합은 실함수를 통해 분리된다. 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \times \{0\}}$ 및 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle y\in \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon )}$과 ${\displaystyle \mathbb {R} \times [0,\infty )\setminus \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon )}$이 실함수를 통해 분리되므로, ${\displaystyle y}$와 ${\displaystyle \mathbb {R} \times [0,\infty )\setminus (\{x\}\cup \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon ))}$ 역시 같은 실함수를 통해 분리된다. 따라서, 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \times \{0\}}$ 및 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여,

${\displaystyle f(x)=0}$

${\displaystyle f(\mathbb {R} \times [0,\infty )\setminus (\{x\}\cup \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon )))=\{1\}}$

인 연속 함수

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \times [0,\infty )\to [0,1]}$

를 찾으면 충분하다. 편의상 ${\displaystyle x=0}$이라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle f\colon y\mapsto 1/\inf\{t\in [1,\infty )\colon ty\not \in \{0\}\cup \operatorname {ball} ((0,\epsilon ),\epsilon )\}}$

는 원하는 조건을 만족시킨다.

이제, 니미츠키 평면의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} \times [0,\infty )}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle U\cap (\mathbb {R} \times (0,\infty ))}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} \times (0,\infty )}$의 열린집합이며, 따라서 가산 개의 (통상적 거리 함수에 대한) 열린 공들의 합집합이다. 각 열린 공은 가산 개의 닫힌 공들의 합집합이며, 닫힌 공은 니미츠키 평면의 닫힌집합이므로, ${\displaystyle U\cap (\mathbb {R} \times (0,\infty ))}$는 F_σ 집합이다. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$의 모든 부분 집합은 니미츠키 평면의 닫힌집합이며, 특히 ${\displaystyle U\cap (\mathbb {R} \times \{0\})}$은 닫힌집합이다. 따라서 ${\displaystyle U}$는 F_σ 집합이다.

이제, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아니라고 가정하자. 임의의 ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} \times \{0\}}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle (\mathbb {R} \times \{0\})\setminus A}$는 모두 닫힌집합이므로, 서로소 열린 근방 ${\displaystyle U_{A}}$와 ${\displaystyle V_{A}}$를 갖는다. 함수

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} \times \{0\})\to {\mathcal {P}}(\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} ))}$

${\displaystyle A\mapsto U_{A}\cap (\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} ))}$

를 생각하자. ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} \times \{0\}}$이며 ${\displaystyle A\setminus B\neq \varnothing }$이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle A\setminus B\subseteq U_{A}\cap V_{B}}$이며, ${\displaystyle \mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} )}$가 조밀 집합이므로,

${\displaystyle \varnothing \neq U_{A}\cap V_{B}\cap (\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} ))\subseteq (U_{A}\cap (\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} )))\setminus (U_{B}\cap (\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} )))}$

이다. 이에 따라, 위 함수는 단사 함수이며,

${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}=|{\mathcal {P}}(\mathbb {R} \times \{0\})|\leq |{\mathcal {P}}(\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} ))|=2^{\aleph _{0}}}$

이다. 이는 모순이다.