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수학에서 크로네커 보조정리(영어: Kronecker’s lemma)는 큰 수의 법칙의 증명에 사용되는 보조정리다. 이에 따르면, 수렴급수의 항이 0으로 수렴하는 속도는 충분히 빠르다. 증명은 아벨 변환과 슈톨츠-체사로 정리를 사용한다.

정의

크로네커 보조정리에 따르면, 임의의 두 실수 수열 $(a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {R}$ , $(b_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {R}$ 에 대하여, 만약 급수

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}

가 수렴하며,

b_{0}\leq b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots

\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty

라면,

\lim _{n\to \infty }b_{n}^{-1}\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}=0

이다.^[1]^{:255, Lemma 8.4.2}^[2]^{:85, Theorem 2.5.9}

증명:

A_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\qquad (n\in \mathbb {N} )

A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}

이라고 하자. 아벨 변환과 슈톨츠-체사로 정리에 의하여, 다음이 성립한다.

{\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }b_{n}^{-1}\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}&=\lim _{n\to \infty }b_{n}^{-1}\left(A_{n}b_{n}-\sum _{i=0}^{n-1}A_{i}(b_{i+1}-b_{i})\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left(A_{n}-b_{n}^{-1}\sum _{i=0}^{n-1}A_{i}(b_{i+1}-b_{i})\right)\\&=\lim _{n\to \infty }(A_{n}-(b_{n}-b_{n-1})^{-1}A_{n-1}(b_{n}-b_{n-1}))\\&=\lim _{n\to \infty }(A_{n}-A_{n-1})\\&=A-A\\&=0\end{aligned}}

↑ Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.
↑ Durrett, Rick (2019). 《Probability: Theory and Examples》 (PDF). Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics (영어) 5판. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108591034. ISBN 978-1-108-47368-2.