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최소제곱법, 또는 최소자승법, 최소제곱근사법, 최소자승근사법(method of least squares, least squares approximation)은 어떤 계의 해방정식을 근사적으로 구하는 방법으로, 근사적으로 구하려는 해와 실제 해의 오차의 제곱의 합(SS)이 최소가 되는 해를 구하는 방법이다.

이 방법은 값을 정확하게 측정할 수 없는 경우에 유용하게 사용될 수 있으며, 특히 그 계의 방정식이 어떤 형태인지를 알고 있을 때 방정식의 상수 값들을 추정하는 데에 사용된다.

어떤 계에서 ${\displaystyle n}$개의 관측값 ${\displaystyle (X_{i},y_{i})}$(${\displaystyle 1\leq i\leq n}$)가 있다고 가정할 때 설명변수와 종속변수간의 관계식을 추정하고자 한다. 회귀식의 설명변수는 m개가 있다고 가정한다. 설명변수 ${\displaystyle x_{ij}}$는 표본의 ${\displaystyle i}$번째 관측값의 ${\displaystyle j}$번 설명변수의 값으로 표기한다. 이 경우 회귀식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i1}+\beta _{2}x_{i2}+...+\beta _{m}x_{im}+\epsilon }$

이 식을 행렬의 꼴로 축약해 나타내면 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\epsilon }}}$

여기서 ${\displaystyle \mathbf {y} }$는 종속변수 관측값을 나타낸 벡터이고, ${\displaystyle \mathbf {X} }$는 설명변수를 모아 둔 디자인 행렬이다. ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$는 모수 벡터이고, ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$은 오차항을 모은 벡터이다. 이들을 행렬로 나타내면 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}1&&x_{11}&&x_{12}&&\cdots &&x_{1m}\\1&&x_{21}&&x_{22}&&\cdots &&x_{2m}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\cdots &&\vdots \\1&&x_{n1}&&x_{n2}&&\cdots &&x_{nm}\\\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}={\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\beta _{2}\\\vdots \\\beta _{m}\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\begin{bmatrix}\epsilon _{1}\\\epsilon _{2}\\\vdots \\\epsilon _{n}\end{bmatrix}}}$

오차항의 제곱합 ${\displaystyle S({\boldsymbol {\beta }})=\sum _{i}\left[y_{i}-(\beta _{0}+\beta _{1}x_{i1}+\beta _{2}x_{i2}+...+\beta _{m}x_{im})\right]^{2}}$ 의 값을 최소로 만드는 ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$를 구하는 것이 문제의 목표이다.

x에 대응하는 y의 자료들이 있다고 할 때, 여기에 맞는 일차방정식은 ${\displaystyle y=ax+b}$이다. 여기서 a, b의 값을 알기 위해선 다음의 '정규방정식(normal equation)'을 연립한다.

${\displaystyle a\sum x^{2}+b\sum x=\sum xy}$

${\displaystyle a\sum x+bn=\sum y}$

 이 부분의 본문은 급수 (상하수도 공학) § 최소제곱법에 의한 방법입니다.

상수도 시설의 규모를 결정할 때 해당 상수도를 이용하게 될 도시의 장래 인구수를 추정해야 한다. 여러 가지 추정법 중 하나가 최소제곱법을 이용한 방법이다. 장래 인구수는 과거의 인구 통계자료를 가지고 연도에 따른 인구수의 방정식을 먼저 구한 뒤, 이를 이용해 계산하여 구한다.

n개의 연도와 인구 수 자료가 있다고 하자.

구하고자 하는 방정식은 ${\displaystyle y=ax+b}$이다. 상수 a, b값을 안다면, 장래의 연도 x를 대입했을 때 장래 인구 수 y를 알 수 있을 것이다. a, b는 다음으로 계산한다.

${\displaystyle a={\frac {n\Sigma XY-\Sigma X\Sigma Y}{n\Sigma X^{2}-\Sigma X\Sigma X}}}$

${\displaystyle b={\frac {\Sigma X^{2}\Sigma Y-\Sigma X\Sigma XY}{n\Sigma X^{2}-\Sigma X\Sigma X}}}$

예를 들어 1990년부터 1996년까지 기록된 인구 자료가 다음과 같다고 하자.

계산의 편의를 위해 연도를 다음과 같이 치환한다.

정규방정식에 필요한 값들을 계산하면

${\displaystyle \sum X^{2}=(9+4+1)\times 2=28}$

${\displaystyle \sum X=0}$

${\displaystyle \sum XY=118600}$

${\displaystyle \sum Y=1337000}$

정규방정식에 이 값들을 대입하면 a, b를 알 수 있다.

${\displaystyle a\times 28=118600}$

${\displaystyle b\times 7=1337000}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\therefore Y&=aX+b\\&=4235.714X+191000\\\end{aligned}}}$

1993년이 ${\displaystyle X=0}$으로 되었으므로 2000년은 ${\displaystyle X=7}$을 대입하여 계산한다. 따라서 2000년의 인구 수는 220,650명으로 예측할 수 있다.

• 가우스-마르코프 정리
• 제곱평균제곱근

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최소제곱법

• 김동희 외 7인 (2008). 《통계학: 이론과 응용》 3판. 자유아카데미. ISBN 978-89-7338-671-0. 
• 이종형 외. 《상하수도 공학》 5판. 구미서관. 24쪽. 
• Kharab, Guenther. 《이공학도를 위한 수치해석》 3판. 학산미디어. 
• Hill, R. Carter; Griffiths, William E.; Lim, Guay C. (2010). 《Principles of Econometrics》 [계량경제학] 3판. 시그마프레스. ISBN 978-89-5832-785-1. 

• “최소제곱법”. 《네이버캐스트》. 
• 최소 제곱법의 발견