호모토피 이론에서 점을 가진 공간(영어: pointed space)은 위상 공간과 그 속의 한 점으로 이루어진 순서쌍이다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 시작 대상 ${\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}$을 갖는다고 하자.

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위의 점을 가진 범주(영어: pointed category) ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}$는 쌍대 조각 범주 ${\displaystyle 1\backslash {\mathcal {C}}}$이다. 즉,

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}$의 대상은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상 ${\displaystyle \bullet _{X}\colon 1\to X}$이다. 이는 ${\displaystyle X}$와 그 속의 "점" ${\displaystyle \bullet _{X}}$의 순서쌍 ${\displaystyle (X,\bullet _{X})}$으로 생각할 수 있다. 이를 ${\displaystyle X}$의 밑점(-點, 영어: basepoint)이라고 한다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}$의 대상 ${\displaystyle (X,\bullet _{X}),(Y,\bullet _{Y})\in {\mathcal {C}}_{\bullet }}$ 사이의 사상 ${\displaystyle f\colon (X,\bullet _{X})\to (Y,\bullet _{Y})}$은 다음 그림을 가환하게 하는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}1&{\xrightarrow {\bullet _{X}}}&X\\&{\scriptstyle \bullet _{Y}}\!\!\searrow &\downarrow \scriptstyle f\\&&Y\end{matrix}}}$

즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.

시작 대상 ${\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}$을 가진 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위의 점을 가진 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}$는 항상 영 대상 ${\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}_{\bullet }}$을 가진다.

영 대상을 가진 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위의 점을 가진 범주는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$와 동치이다. 즉, 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 영 대상을 가진다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {D}}_{\bullet }}$인, 시작 대상을 가진 범주 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$가 존재한다.

시작 대상 ${\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}$을 가진 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위의 점을 가진 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}$는 원래 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$로 가는 자연스러운 망각 함자

${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}_{\bullet }\to {\mathcal {C}}}$

를 갖는다.

만약 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 유한 쌍대 완비 범주라면, 망각 함자는 왼쪽 수반 함자

${\displaystyle (-)_{+}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}_{\bullet }}$

${\displaystyle (-)_{+}\colon (X\in {\mathcal {C}})\mapsto X_{+}=(X\sqcup 1,1\hookrightarrow X\sqcup 1)}$

${\displaystyle (-)_{+}\dashv F}$

를 갖는다. 이를 밑점 추가(영어: adjoining disjoint basepoint)라고 한다.

${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )}$가 유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}$ 역시 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}$에서의 텐서곱은 분쇄곱(영어: smash product) ${\displaystyle \wedge }$이라고 한다. 또한, 만약 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )}$가 대칭 모노이드 범주라면 ${\displaystyle ({\mathcal {C}}_{\bullet },\wedge )}$ 역시 대칭 모노이드 범주이다.

구체적으로, ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}$ 속의 두 대상 ${\displaystyle (X,\bullet _{X})}$, ${\displaystyle (Y,\bullet _{Y})}$의 분쇄곱 ${\displaystyle (X,\bullet _{X})\wedge (Y,\bullet _{Y})}$은 다음과 같은 밂이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}(X\otimes 1)\sqcup (1\otimes Y)&\to &1\\\downarrow &&\downarrow \\X\otimes Y&\to &X\wedge Y\end{matrix}}}$

이 네모의 왼쪽 변은

${\displaystyle \otimes \bullet _{Y}\colon X\otimes 1\to X\otimes Y}$

${\displaystyle \bullet _{X}\otimes \colon 1\otimes Y\to X\otimes Y}$

로부터 유도되는 사상

${\displaystyle (\otimes \bullet _{Y})\sqcup (\bullet _{X}\otimes )\colon (X\otimes 1)\sqcup (1\otimes Y)\to X\otimes Y}$

이다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}$에서의 지수 대상 ${\displaystyle [-,-]_{\bullet }}$은 다음과 같은 당김이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}[X,Y]_{\bullet }&\to &1\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle {\bullet _{Y}}\\{}[X,Y]&{\xrightarrow[{\circ {\bullet _{X}}}]{}}&[1,Y]\end{matrix}}}$

${\displaystyle [X,Y]_{\bullet }}$의 점은 유일한 사상 ${\displaystyle X\to 1{\xrightarrow {\bullet _{Y}}}Y}$에 대응한다.

집합의 범주에서, 시작 대상은 한원소 집합이다. 따라서, 점을 가진 집합(영어: pointed set)의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} _{\bullet }}$의 원소는 집합 ${\displaystyle S}$와 그 속의 원소 ${\displaystyle \bullet _{S}\in S}$의 순서쌍 ${\displaystyle (S,\bullet _{S})}$이다.

점을 가진 집합의 범주는 대수 구조 다양체의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조로 생각할 수 있다. (이 대수 구조 다양체에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.)

위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$에서 끝 대상은 한원소 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$이며, 한원소 공간에서 위상 공간 ${\displaystyle X}$로 가는 연속 함수 ${\displaystyle \{\bullet \}\to X}$는 ${\displaystyle X}$ 속의 한 점 ${\displaystyle \bullet _{X}\in X}$을 제시하는 것과 같다. 즉, 점을 가진 공간(영어: pointed space) ${\displaystyle (X,x_{0})}$은 위상 공간 ${\displaystyle X}$와 그 속의 한 점 ${\displaystyle x_{0}\in X}$로 구성된 순서쌍이며, 점을 가진 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top_{\bullet }} }$의 사상인 점을 보존하는 연속 함수(영어: basepoint-preserving continuous map) ${\displaystyle f\colon (X,\bullet _{X})\to (Y,\bullet _{Y})}$는

${\displaystyle f(\bullet _{X})=\bullet _{Y}}$

인 연속 함수이다.

군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$나 아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$, 나아가 임의의 아벨 범주는 모두 영 대상을 가지므로 그 위의 점을 가진 범주는 원래 범주와 동치이다.

예를 들어, 모든 군 또는 아벨 군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 항등원 ${\displaystyle 1_{G}\in G}$는 그 "점"을 이룬다.

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pointed space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pointed map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Pointed object”. 《nLab》 (영어). 
• “Pointed category”. 《nLab》 (영어). 
• “Pointed set”. 《nLab》 (영어). 
• “Pointed space”. 《nLab》 (영어).