대수적 위상수학에서 이음(영어: join 조인^[*])은 두 위상 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$의 분리합집합에, ${\displaystyle X}$의 한 점과 ${\displaystyle Y}$의 한 점을 잇는 모든 선분들을 추가하여 얻는 위상 공간이다.

두 위상 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$의 이음은 다음과 같은 곱공간의 몫공간이다.

${\displaystyle X\star Y={\frac {X\times Y\times [0,1]}{\sim }}}$

여기서 동치 관계 ${\displaystyle \sim }$는 다음과 같다.

${\displaystyle (x,y,t)\sim (x',y',t')\iff (t=t')\land \left(x=x'\lor t=1\right)\land \left(y=y'\lor t=0\right)}$

즉,

${\displaystyle (x,y,0)\sim (x',y,0)}$

${\displaystyle (x,y,1)\sim (x,y',1)}$

이다. 다시 말해, 기둥 ${\displaystyle X\times Y\times [0,1]}$을 양끝에서 서로 반대 방향으로 찌그려뜨린 것이다.

한원소 공간 ${\displaystyle Y=\{\bullet \}}$과의 이음

${\displaystyle X\star \{\bullet \}\cong {\frac {X\times [0,1]}{X\times \{1\}}}}$

을 ${\displaystyle X}$의 뿔(영어: cone)이라고 한다.

두 점을 가진 공간 ${\displaystyle (X,\bullet _{X})}$, ${\displaystyle (Y,\bullet _{Y})}$의 축소 이음(영어: reduced join)은 다음과 같다.

${\displaystyle X*Y={\frac {X\star Y}{X\star \{\bullet _{Y}\}\cup \{\bullet _{X}\}\star Y}}}$

이는 사실 분쇄곱 ${\displaystyle X\wedge Y}$의 축소 현수와 위상 동형이다. 이음과 축소 이음은 서로 호모토피 동치이다.

초구의 이음은 다음과 같이 초구이다.

${\displaystyle \mathbb {S} ^{m}\star \mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {S} ^{m+n+1}}$

크기 2의 이산 공간 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$과의 이음은 현수와 위상 동형이다.

• “Join”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cone”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Space join”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Join of topological spaces”. 《nLab》 (영어). 
• “Cone”. 《nLab》 (영어).