호몰로지 대수학에서 왼쪽 유도 함자(-誘導函子, 영어: left derived functor)와 오른쪽 유도 함자(-誘導函子, 영어: right derived functor)는 각각 오른쪽 완전 함자 또는 왼쪽 완전 함자가 왼쪽 또는 오른쪽에서 완전하지 못한 정도를 측정하는 함자이다.^[1]

유도 함자의 개념은 원래 단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주의 대상에 대하여 정의되었다. 이 정의는 아벨 범주의 대상 대신 그 속의 사슬 복합체에 대하여 일반화할 수 있으며, 하나의 대상에 대한 유도 함자는 하나의 성분만을 가지는 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사슬 복합체에 대하여 정의된 유도 함자는 초유도 함자(超誘導函子, 영어: hyperderived functor) 또는 초코호몰로지(超cohomology, 영어: hypercohomology)라고 한다. 초유도 함자의 값은 사슬 복합체의 유사동형에 의존하지 않으며, 따라서 자연스럽게 유도 범주 위에 정의된다.

사슬 복합체의 범주는 자연스럽게 모형 범주를 이루며, 초유도 함자의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$에서, 임의의 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$에 대하여 단사 분해, 즉 다음과 같은 꼴의 긴 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 0\to A\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }$

여기서 ${\displaystyle I^{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}$는 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체이다. 이러한 긴 완전열을 대상 ${\displaystyle A}$의 단사 분해(영어: injective resolution)이라고 한다. 단사 분해는 유일하지 않을 수 있다. 단사 분해는 다음과 같은 꼴의, 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체의 유사동형과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &A&\to &0&\to &0&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &I^{0}&\to &I^{1}&\to &I^{2}&\to &\cdots \end{matrix}}\qquad \operatorname {H} ^{i}(I)={\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}}}$

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$와 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 및 그 사이의 왼쪽 완전 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$에 대하여, 그 (임의의) 단사 분해의 ${\displaystyle F}$에 대한 상을 생각하자.

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &F(A)&\to &0&\to &0&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &F(I^{0})&\to &F(I^{1})&\to &F(I^{2})&\to &\cdots \end{matrix}}}$

${\displaystyle F}$는 두 행의 유사동형을 보존하지 않는다. 즉, ${\displaystyle I^{\bullet }}$는 완전열이었지만, ${\displaystyle F(I^{\bullet })}$은 더 이상 완전열이 아니다. ${\displaystyle F(I^{\bullet })}$의 코호몰로지를 ${\displaystyle F}$의 오른쪽 유도 함자의 값으로 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} _{\leq 0}^{\bullet }}$

${\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F(A)=\operatorname {H} ^{\bullet }(F(I))}$

특히, ${\displaystyle \operatorname {R} ^{0}F(A)=F(A)}$이다.

보다 일반적으로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 속의 자연수 차수 공사슬 복합체 ${\displaystyle A^{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}$가 주어졌을 때, 항상 단사 대상으로 구성된 유사동형 공사슬 복합체를 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &A^{0}&\to &A^{1}&\to &A^{2}&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &I^{0}&\to &I^{1}&\to &I^{2}&\to &\cdots \end{matrix}}\qquad \operatorname {H} ^{i}(I)=\operatorname {H} ^{i}(A)}$

이를 공사슬 복합체 ${\displaystyle A^{\bullet }}$의 단사 분해라고 한다. 하나의 대상의 단사 분해는 0차 성분만을 가진 공사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 임의의 공사슬 복합체 ${\displaystyle A^{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}$에 대하여, 왼쪽 완전 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$는 두 행의 유사동형을 일반적으로 보존하지 않는다. ${\displaystyle F}$의 오른쪽 초유도 함자(영어: right hyperderived functor)의 값은 ${\displaystyle A^{\bullet }}$의 단사 분해 ${\displaystyle I^{\bullet }}$의 상 ${\displaystyle F(I)}$의 코호몰로지이다.

${\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F\colon \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }(F)\to \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {B}})}$

${\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F(A)=\operatorname {H} ^{\bullet }(F(A))}$

서로 다른 단사 분해를 사용하면, 자연 동형 오른쪽 유도 함자를 얻으며, 따라서 오른쪽 유도 함자는 단사 분해의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 오른쪽 유도 함자 ${\displaystyle R^{i}F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$는 가법 함자임을 보일 수 있다.

단사 대상 대신, 사영 대상을 사용해 오른쪽 완전 함자 ${\displaystyle G}$의 왼쪽 유도 함자(영어: left derived functor) ${\displaystyle \operatorname {L} _{i}G}$도 유사하게 정의할 수 있다.

사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$에서, 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$의 사영 분해(영어: projective resolution) ${\displaystyle P_{\bullet }}$를 생각하자.

${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &P_{2}&\to &P_{1}&\to &P_{0}&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &0&\to &0&\to &A&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(I)={\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}}}$

사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$와 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$의 왼쪽 유도 함자 ${\displaystyle \operatorname {L} _{i}F(A)}$는 ${\displaystyle A}$의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &F(P_{2})&\to &F(P_{1})&\to &F(P_{0})&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &0&\to &0&\to &F(A)&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(F(P_{\bullet }))=\operatorname {L} _{i}F(P_{\bullet })}$

${\displaystyle \operatorname {L} _{\bullet }F\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {B}})}$

보다 일반적으로, 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 속의 자연수 차수 사슬 복합체 ${\displaystyle A_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})}$가 주어졌을 때, 항상 사영 대상으로 구성된 유사동형 사슬 복합체를 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &P_{2}&\to &P_{1}&\to &P_{0}&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &A_{2}&\to &A_{1}&\to &A_{0}&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(I_{\bullet })=\operatorname {H} _{i}(A_{\bullet })}$

이를 사슬 복합체 ${\displaystyle A_{\bullet }}$의 사영 분해라고 한다. 하나의 대상의 사영 분해는 0차 성분만을 가진 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$와 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$의 왼쪽 초유도 함자(영어: left hyperderived functor)

${\displaystyle \operatorname {L} _{\bullet }F\colon \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}{\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {B}})}$

는 ${\displaystyle A_{\bullet }}$의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &F(P_{2})&\to &F(P_{1})&\to &F(P_{0})&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &F(A_{2})&\to &F(A_{1})&\to &F(A_{0})&\to &0\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(F(P_{\bullet }))=\operatorname {L} _{i}F(P_{\bullet })}$

단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 위의 (공)사슬 복합체의 범주는 모형 범주를 이루며, 그 위의 유도 함자의 정의는 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우 단사·사영 분해는 (적절한 모형 범주 구조에 대한) (쌍대)올 분해에 대응한다.

모형 범주 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자

${\displaystyle {\mathcal {M}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}$

가 존재한다. 이 함자는 모형 범주 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$의 약한 동치 사상을 호모토피 범주 ${\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}$의 동형 사상으로 대응시킨다.

모형 범주에서 올뭉치를 ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$, 쌍대올뭉치를 ${\displaystyle \hookrightarrow }$, 약한 동치를 ${\displaystyle {\xrightarrow {\sim }}}$로 표기하자. 시작 대상은 ${\displaystyle \{\bullet \}\in {\mathcal {M}}}$이며, 끝 대상은 ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {M}}}$로 표기하자.

모형 범주 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$에서 범주 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$로 가는 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}$가 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$의 올대상 사이의 약한 동치를 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 동형 사상으로 보낸다고 하자.

임의의 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}}$에 대하여, 그 올분해(영어: fibrant resolution)

${\displaystyle A{\xrightarrow {\sim }}I\twoheadrightarrow \{\bullet \}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle F}$의 오른쪽 초유도 함자 ${\displaystyle \operatorname {R} F}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \operatorname {R} F\colon A\mapsto F(I)}$

이 함자는 약한 동치를 동형 사상으로 대응시키므로, 자연스럽게 호모토피 범주 ${\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}$위에 정의된다.

공사슬 복합체	모형 범주
공사슬 복합체 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}$	모형 범주 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$
공사슬 복합체 범주의 유도 범주 ${\displaystyle \operatorname {D} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}$	모형 범주의 호모토피 범주 ${\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}$
유도 범주 ${\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}$	범주 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$
오른쪽 완전 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$로부터 정의된 함자 ${\displaystyle F^{*}\colon \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}$	함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}$
단사 대상으로 구성된 공사슬 복합체 ${\displaystyle I^{\bullet }}$	올 대상 ${\displaystyle I\twoheadrightarrow \{\bullet \}}$
단사 분해 ${\displaystyle A^{\bullet }\to I^{\bullet }}$	올 분해 ${\displaystyle A{\xrightarrow {\sim }}I\twoheadrightarrow \{\bullet \}}$
오른쪽 초유도 함자 ${\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {D} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}$	오른쪽 초유도 함자 ${\displaystyle \operatorname {R} F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}$

모형 범주 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자

${\displaystyle {\mathcal {M}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}$

가 존재한다.

모형 범주 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$에서 범주 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$로 가는 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}$가 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$의 쌍대올대상 사이의 약한 동치를 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 동형 사상으로 보낸다고 하자.

임의의 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}}$에 대하여, 그 쌍대올분해

${\displaystyle \varnothing \hookrightarrow Q\to A}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle F}$의 왼쪽 초유도 함자 ${\displaystyle \operatorname {L} F}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \operatorname {L} F\colon A\mapsto F(Q)}$

사슬 복합체	모형 범주
사슬 복합체 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})}$	모형 범주 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$
사슬 복합체 범주의 유도 범주 ${\displaystyle \operatorname {D} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})}$	모형 범주의 호모토피 범주 ${\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}$
유도 범주 ${\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}$	범주 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$
오른쪽 완전 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$로부터 정의된 함자 ${\displaystyle F^{*}\colon \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}$	함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}$
사영 대상으로 구성된 사슬 복합체 ${\displaystyle P_{\bullet }}$	쌍대올 대상 ${\displaystyle 0\hookrightarrow P}$
사영 분해 ${\displaystyle P_{\bullet }\to A_{\bullet }}$	쌍대올 분해 ${\displaystyle 0\hookrightarrow P\to A}$
왼쪽 초유도 함자 ${\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {D} _{\bullet }^{\geq 0}\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}$	왼쪽 초유도 함자 ${\displaystyle \operatorname {L} F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}$

모형 범주에서는 약한 동치의 모임이 주어진다. 모형 범주에 존재하는 추가 구조 (올뭉치 · 쌍대올뭉치)는 유도 함자를 구체적으로 구성하는 데 간편하지만, 유도 함자를 정의하는 데 필요하지 않다. 따라서, 약한 동치가 주어진 범주에 대하여 유도 함자를 칸 확대의 개념을 사용하여 일반적으로 정의할 수 있다.^[2]

약한 동치의 모임이 주어진 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 및 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 약한 동치들에 대한 국소화를 가하여 (범주론적인 문제를 무시하면) 호모토피 범주 ${\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}$ 및 포함 함자 ${\displaystyle J\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}$를 정의할 수 있다. 그렇다면, ${\displaystyle F}$의 왼쪽 유도 함자 ${\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to {\mathcal {D}}}$는 (만약 존재한다면) ${\displaystyle F}$의 ${\displaystyle J}$에 대한 오른쪽 칸 확대이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &\!\!\!\!{\color {White}_{\mathrm {L} F}}\nearrow _{\mathrm {L} F}\!\!\!\!\\\!\!\!\!\operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\!\!\!\!\end{matrix}}}$

오른쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여 자연 변환의 성분 ${\displaystyle \operatorname {L} F(J(X))\to F(X)}$이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 ${\displaystyle X}$의 쌍대올 분해 ${\displaystyle 0\hookrightarrow P\to X}$의 상 ${\displaystyle F(P)\to F(X)}$이다.

마찬가지로, ${\displaystyle F}$의 오른쪽 유도 함자 ${\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to {\mathcal {D}}}$는 (만약 존재한다면) ${\displaystyle F}$의 ${\displaystyle J}$에 대한 왼쪽 칸 확대이다. 왼쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여 자연 변환의 성분 ${\displaystyle F(X)\to \operatorname {R} F(J(X))}$이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 ${\displaystyle X}$의 올 분해 ${\displaystyle X\to I\twoheadrightarrow \{\bullet \}}$의 상 ${\displaystyle F(X)\to F(I)}$이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &\!\!\!\!{\color {White}_{\mathrm {L} F}}\nearrow _{\mathrm {L} F}\!\!\!\!\\\!\!\!\!\operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\!\!\!\!\end{matrix}}}$

원래 함자 ${\displaystyle F}$는 왼쪽 완전 함자라고 가정하였으므로, 단사 분해의 처음 부분

${\displaystyle 0\to X^{0}\to I^{0}\to I^{1}}$

의 상

${\displaystyle 0\to F(X^{0})\to F(I^{0})\to F(I^{1})}$

은 완전열이다. 따라서, ${\displaystyle F(X^{0})\to F(I^{0})}$은 단사 사상이며,

${\displaystyle \operatorname {R} ^{0}F(X)=\ker(F(I^{0})\to F(I^{1}))=\operatorname {im} (F(X)\to F(I^{0}))\cong F(X)}$

이다. 따라서, 0차 유도 함자는 원래 함자와 자연 동형이다. 즉, ${\displaystyle R^{0}F\simeq F}$이다.

만약 ${\displaystyle X}$가 단사 대상이라면, 단사 분해를

${\displaystyle 0\to X\to X\to 0}$

으로 취할 수 있다. 이 경우, 단사 분해의 상

${\displaystyle 0\to F(X)\to F(X)\to 0}$

의 호몰로지는 자명하다. 즉, 모든 ${\displaystyle i>0}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {R} ^{i}F(X)=0}$이고, 단사 대상의 유도 함자에 대한 상은 항상 0이다.

왼쪽 완전 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ 및 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.

${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to \operatorname {R} ^{1}F(A)\to \operatorname {R} ^{1}F(B)\to \operatorname {R} ^{1}F(C)\to \operatorname {R} ^{2}F(A)\to \cdots }$

마찬가지로, 오른쪽 완전 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ 및 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {L} _{2}F(C)\to \operatorname {L} _{1}F(A)\to \operatorname {L} _{1}F(B)\to \operatorname {L} _{1}F(C)\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0}$

흔히 쓰이는 많은 호몰로지 및 코호몰로지 이론들은 유도 함자로서 정의할 수 있다.

적용 대상	함자	완전성 방향	유도 함자
위상 공간 ${\displaystyle X}$	아벨 군층의 단면 ${\displaystyle \Gamma (-,X)\colon \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Ab} }$	왼쪽 완전 함자	층 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }\Gamma (-,X)=\operatorname {H} ^{\bullet }(X,-)}$
환 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 가군 ${\displaystyle A}$	가군 준동형 군 ${\displaystyle \hom(A,-)\colon R{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} }$	왼쪽 완전 함자	Ext 함자 ${\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }\hom(A,-)=\operatorname {Ext} ^{\bullet }(A,-)}$
환 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 가군 ${\displaystyle A}$	텐서곱 ${\displaystyle \otimes A\colon {\text{Mod-}}R\to \operatorname {Ab} }$	오른쪽 완전 함자	Tor 함자 ${\displaystyle \operatorname {L} _{\bullet }(\otimes A)=\operatorname {Tor} _{\bullet }(-,A)}$
군 ${\displaystyle G}$	가군의 불변원 ${\displaystyle (-)^{G}\colon \mathbb {Z} [G]{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} }$	왼쪽 완전 함자	군 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }(-)^{G}=\operatorname {H} ^{\bullet }(G,-)}$
군 ${\displaystyle G}$	가군의 쌍대불변원 ${\displaystyle (-)_{G}\colon \mathbb {Z} [G]{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} }$	오른쪽 완전 함자	군 호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {L} _{\bullet }(-)_{G}=\operatorname {H} _{\bullet }(G,-)}$
스킴 ${\displaystyle X}$	에탈 층의 단면 ${\displaystyle \Gamma (-)\colon \operatorname {Sh} (\operatorname {{\acute {E}}t} /X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Ab} }$	왼쪽 완전 함자	에탈 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }\Gamma (-)=\operatorname {H_{{\acute {e}}t}} ^{\bullet }(-)}$

• “Derived functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Derived functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Hyper-derived functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Derived functor in homological algebra”. 《nLab》 (영어).