분기의 예. 매개변수
α α -->
{\displaystyle \alpha }
α α -->
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
α α -->
<
0
{\displaystyle \alpha <0}
α α -->
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
동역학계 이론 에서 분기 (分岐, 영어 : bifurcation )는 어떤 매개변수에 의존하는 동역학계 의 궤도 따위가, 특정 매개변수 값에서 급격히 변하는 현상이다. 동역학계를 분기를 통하여 연구하는 수학 분야를 분기 이론 (分岐理論, 영어 : bifurcation theory )이라고 한다.
분기 (分岐, 영어 : bifurcation )는 국소적 분기 (영어 : local bifurcation )와 대역적 분기 (영어 : global bifurcation )가 있다. 전자는 평형점의 존재 또는 부재에 대한 것이고, 후자는 주기적 궤도 따위에 대한 것이다. 전자는 선형화 이론으로 다룰 수 있지만, 후자는 더 복잡하다.
어떤
n
{\displaystyle n}
리만 다양체
M
{\displaystyle M}
λ λ -->
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }
동역학계
f
: : -->
R
× × -->
M
→ → -->
T
M
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \times M\to TM}
x
˙ ˙ -->
μ μ -->
=
f
μ μ -->
(
λ λ -->
,
x
)
{\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }=f^{\mu }(\lambda ,x)}
가 주어졌다고 하자. 이 동역학계의 고정점 은
f
μ μ -->
(
λ λ -->
,
x
)
=
0
{\displaystyle f^{\mu }(\lambda ,x)=0}
(
μ μ -->
,
x
)
∈ ∈ -->
R
× × -->
M
{\displaystyle (\mu ,x)\in \mathbb {R} \times M}
(
λ λ -->
,
x
)
∈ ∈ -->
R
× × -->
M
{\displaystyle (\lambda ,x)\in \mathbb {R} \times M}
야코비 행렬
∇ ∇ -->
μ μ -->
f
ν ν -->
|
λ λ -->
,
x
: : -->
T
x
M
→ → -->
T
x
M
{\displaystyle \nabla _{\mu }f^{\nu }|_{\lambda ,x}\colon T_{x}M\to T_{x}M}
을 정의할 수 있다. 이를
n
× × -->
n
{\displaystyle n\times n}
행렬 로 간주할 때, 만약
∇ ∇ -->
μ μ -->
f
ν ν -->
|
λ λ -->
,
x
{\displaystyle \nabla _{\mu }f^{\nu }|_{\lambda ,x}}
고윳값 을 갖는다면, 동역학계
x
˙ ˙ -->
μ μ -->
=
f
μ μ -->
(
λ λ -->
,
x
)
{\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }=f^{\mu }(\lambda ,x)}
(
λ λ -->
,
x
)
{\displaystyle (\lambda ,x)}
분기한다 고 한다.[ 1] :996, §II.A.3
만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이라면, 이는 안정 상태 분기 (安定狀態分岐, 영어 : steady-state bifurcation )라고 한다.
만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이 아닌 허수라면, 이는 호프 분기 영어 : Hopf bifurcation )라고 한다. 이 경우, 대개 어떤 고정점 이 극한 주기 궤도 로 변화하게 된다. 이산 시간 동역학계에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다. 이산 시간 동역학계
f
: : -->
R
× × -->
M
→ → -->
M
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \times M\to M}
x
↦ ↦ -->
f
(
λ λ -->
,
x
)
{\displaystyle x\mapsto f(\lambda ,x)}
가 주어졌다고 하자. 이 동역학계에서 고정점 은
f
(
λ λ -->
,
x
)
=
x
{\displaystyle f(\lambda ,x)=x}
(
μ μ -->
,
x
)
∈ ∈ -->
R
× × -->
M
{\displaystyle (\mu ,x)\in \mathbb {R} \times M}
(
λ λ -->
0
,
x
0
)
∈ ∈ -->
R
× × -->
X
{\displaystyle (\lambda _{0},x_{0})\in \mathbb {R} \times X}
야코비 행렬
(
d
f
)
ν ν -->
μ μ -->
|
(
λ λ -->
,
x
)
: : -->
T
x
M
→ → -->
T
f
(
λ λ -->
,
x
)
M
{\displaystyle (df)_{\nu }^{\mu }|_{(\lambda ,x)}\colon T_{x}M\to T_{f(\lambda ,x)}M}
을 정의할 수 있다. 이를
n
× × -->
n
{\displaystyle n\times n}
d
f
|
(
λ λ -->
,
x
)
{\displaystyle df|_{(\lambda ,x)}}
f
{\displaystyle f}
(
λ λ -->
,
x
)
{\displaystyle (\lambda ,x)}
분기한다 고 한다.[ 1] :998, §II.B.2
만약 절댓값이 1인 고윳값이 1이라면, 이는 안정 상태 분기 (安定狀態分岐, 영어 : steady-state bifurcation )라고 한다.
만약 절댓값이 1인 고윳값의 쌍이
exp
-->
(
± ± -->
i
θ θ -->
)
{\displaystyle \exp(\pm i\theta )}
θ θ -->
≠ ≠ -->
0
,
π π -->
{\displaystyle \theta \neq 0,\pi }
호프 분기 영어 : Hopf bifurcation )라고 한다.
만약 절댓값이 1인 고윳값이 −1이라면, 이는 주기배가 분기 영어 : period-doubling bifurcation )라고 한다. 이는 연속 시간 동역학계에서 나타나지 않는 분기화이다.
대역적 분기 (영어 : global bifurcation )는 주기 궤도(영어 : periodic orbit )나 극한 주기 궤도 , 끌개 등이 한 개 이상의 안정점과 충돌하게 되는 점이다. 이 역시 다양한 경우가 있다.
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