안정 극한 주기 궤도의 푸앵카레 사상 . 안정 극한 주기 궤도는 굵은 검은 선으로 표시하였고, 이로 수렴하는 다른 궤도들은 가는 검은 선으로 표시하였다. 판데르폴 진동자 에서의 극한 주기 궤도동역학계 이론 에서 극한 주기 궤도 (極限週期軌道, 영어 : limit cycle )는 주기 궤도 가운데 적어도 하나 이상의 다른 궤도의 극한 집합 을 이루는 것이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
동역학계
ϕ ϕ -->
: : -->
R
× × -->
X
→ → -->
X
{\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} \times X\to X}
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
X
: : -->
ϕ ϕ -->
(
0
,
x
)
=
x
{\displaystyle \forall x\in X\colon \phi (0,x)=x}
∀ ∀ -->
t
1
,
t
2
∈ ∈ -->
R
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
X
: : -->
ϕ ϕ -->
(
t
1
,
ϕ ϕ -->
(
t
2
,
x
)
)
=
ϕ ϕ -->
(
t
1
+
t
2
,
x
)
{\displaystyle \forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \forall x\in X\colon \phi (t_{1},\phi (t_{2},x))=\phi (t_{1}+t_{2},x)}
위의, 초기 조건
x
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x\in X}
궤도 (軌道, 영어 : orbit )는 다음과 같은 꼴의 집합이다.
γ γ -->
(
x
)
=
{
ϕ ϕ -->
(
t
,
x
)
: : -->
t
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle \gamma (x)=\{\phi (t,x)\colon t\in \mathbb {R} \}}
이 동역학계의 주기 궤도 (週期軌道, 영어 : periodic orbit , cycle )는 다음 조건을 만족시키는 초기 조건
x
{\displaystyle x}
∃ ∃ -->
t
≠ ≠ -->
0
: : -->
ϕ ϕ -->
(
t
,
x
)
=
x
{\displaystyle \exists t\neq 0\colon \phi (t,x)=x}
극한 주기 궤도 는 다음 조건을 만족시키는 주기 궤도
γ γ -->
(
x
)
{\displaystyle \gamma (x)}
ω ω -->
± ± -->
(
y
)
=
γ γ -->
(
x
)
{\displaystyle \omega _{\pm }(y)=\gamma (x)}
y
∈ ∈ -->
X
∖ ∖ -->
γ γ -->
(
x
)
{\displaystyle y\in X\setminus \gamma (x)}
여기서
ω ω -->
± ± -->
{\displaystyle \omega _{\pm }}
극한 집합 이다.
극한 주기 궤도
γ γ -->
(
x
)
{\displaystyle \gamma (x)}
근방
U
⊃ ⊃ -->
γ γ -->
(
x
)
{\displaystyle U\supset \gamma (x)}
γ γ -->
(
x
)
{\displaystyle \gamma (x)}
안정 극한 주기 궤도 (安定極限週期軌道, 영어 : stable limit cycle )이라고 한다.
모든
y
∈ ∈ -->
U
{\displaystyle y\in U}
ω ω -->
+
(
y
)
=
γ γ -->
(
x
)
{\displaystyle \omega _{+}(y)=\gamma (x)}
극한 주기 궤도
γ γ -->
(
x
)
{\displaystyle \gamma (x)}
근방
U
⊃ ⊃ -->
γ γ -->
(
x
)
{\displaystyle U\supset \gamma (x)}
γ γ -->
(
x
)
{\displaystyle \gamma (x)}
불안정 극한 주기 궤도 (不安定極限週期軌道, 영어 : unstable limit cycle )이라고 한다.
모든
y
∈ ∈ -->
U
{\displaystyle y\in U}
ω ω -->
− − -->
(
y
)
=
γ γ -->
(
x
)
{\displaystyle \omega _{-}(y)=\gamma (x)}
그러나 안정 극한 주기 궤도도, 불안정 극한 주기 궤도도 아닌 극한 주기 궤도가 존재한다. 안정 극한 주기 궤도는 끌개 의 예이다.
