베르트랑-디케-퓌죄 정리 (Bertrand-Diquet-Puiseux theorem)는 미분기하학 의 정리 로, 임의의 곡면 에서 길이 혹은 넓이 의 양과 가우스 곡률 을 연결하는 중요한 결과를 담고 있다. 프랑스 수학자 조제프 루이 프랑수아 베르트랑 (Joseph Louis François Bertrand), C.F. 디케(Diquet), 빅토르 퓌죄 (Victor Puiseux)의 이름이 붙어 있다.
p를 어떤 매끄러운 곡면 M 상의 임의의 점이라 하자. p를 시점으로 한 길이가 r인 측지선분 들의 다른 끝점의 자취를 반지름 이 r인 측지원 (geodesic circle)이라 하면, 측지원은 폐곡선 을 형성하므로 그 둘레와 측지원이 둘러싼 넓이를 생각할 수 있다. 이제 p를 중심으로 하는 반지름이 r인 측지원의 둘레를 C(r), 넓이를 A(r)이라 할 때, p에서 곡선의 가우스 곡률 K(p)에 대해 다음 공식이 성립한다.
K
(
p
)
=
lim
r
→ → -->
0
+
3
2
π π -->
r
− − -->
C
(
r
)
π π -->
r
3
=
lim
r
→ → -->
0
+
12
π π -->
r
2
− − -->
A
(
r
)
π π -->
r
4
.
{\displaystyle K(p)=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}.}
이상의 정리는 가우스-보네 정리 및 가우스의 빼어난 정리 와 밀접하게 연관되어 있다.
일반적인 유클리드 평면에 대해서 반지름 r인 원의 둘레는 2πr이므로 유클리드 평면의 가우스 곡률은 어느 곳에서나 0이 됨을 바로 알 수 있다.
반지름이 1인 구면을 생각해 보자. 여기서 천정을 중심으로 한 반지름이 r인 측지원의 둘레는 각이 r, 반지름이 1인 원호의 길이가 r로 주어짐을 고려하면 2πsinr이 됨을 알 수 있다. 따라서 구면의 가우스 곡률은 어느 곳에서나
K
(
p
)
=
lim
r
→ → -->
0
+
3
2
π π -->
r
− − -->
2
π π -->
sin
-->
r
π π -->
r
3
=
1
{\displaystyle K(p)=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-2\pi \sin {r}}{\pi r^{3}}}=1}
쌍곡평면 에 대한 푸앵카레 상반평면 모델을 생각해 보자. 여기서 임의의 점을 중심으로 한 반지름이 r인 측지원의 둘레는 적절한 적분 식을 이용하면 중심에 무관하게 2πsinhr로 주어짐을 알 수 있다. 따라서 쌍곡평면의 가우스 곡률은 어느 곳에서나
K
(
p
)
=
lim
r
→ → -->
0
+
3
2
π π -->
r
− − -->
2
π π -->
sinh
-->
r
π π -->
r
3
=
− − -->
1
{\displaystyle K(p)=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-2\pi \sinh {r}}{\pi r^{3}}}=-1}
Berger, Marcel (2004), A Panoramic View of Riemannian Geometry , Springer-Verlag, ISBN 3-540-65317-1
Bertrand, J; Diquet, C.F.; Puiseux, V (1848), "Démonstration d'un théorème de Gauss", Journal de Mathématiques 13 : 80–90
Spivak, Michael (1999), A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II , Publish or Perish Press, ISBN 0-914098-71-3 
