가우스 곡률 (Gauß曲率, 영어 : Gaussian curvature )은 곡면 의 한 점의 굽은 정도를 나타내는 척도로서, 그 점의 두 주곡률 의 곱이다. 가우스의 빼어난 정리 에 따르면, 가우스 곡률은 내재적 이다. 즉, 오직 곡면에서 거리 가 어떻게 측도되는지에만 의존한다. 기호는 라틴 문자
K
{\displaystyle K}
3차원 유클리드 공간에 매장 된 곡면의 가우스 곡률
K
{\displaystyle K}
주곡률
κ κ -->
1
,
κ κ -->
2
{\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}}
K
=
κ κ -->
1
κ κ -->
2
{\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}}
가우스 곡률은 모양 연산자 의 행렬식 으로 정의할 수도 있다.
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
p
{\displaystyle \mathbb {p} }
S
{\displaystyle S}
K
{\displaystyle K}
K
(
p
)
=
det
(
S
(
p
)
)
{\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} ))}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
제1 기본 형식 의 행렬식에 대한 제2 기본 형식 의 행렬식의 비로 표현할 수도 있다.
K
=
det
II
det
I
{\displaystyle K={\frac {\det {\text{II}}}{\det {\text{I}}}}}
가우스 곡율은 가우스의 빼어난 정리 에 따라 내재적인 값이며, 따라서 내재적으로 정의할 수 있다. 2차원 리만 다양체 의 리만 곡률 텐서 와 리치 곡률 텐서 는 오직 하나의 독립된 성분만을 가지며, 다음과 같다.
R
μ μ -->
ν ν -->
ρ ρ -->
σ σ -->
=
K
(
g
μ μ -->
ρ ρ -->
g
ν ν -->
σ σ -->
− − -->
g
μ μ -->
ν ν -->
g
ρ ρ -->
σ σ -->
)
{\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }=K(g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }-g_{\mu \nu }g_{\rho \sigma })}
Ric
μ μ -->
ν ν -->
=
K
g
μ μ -->
ν ν -->
{\displaystyle \operatorname {Ric} _{\mu \nu }=Kg_{\mu \nu }}
이 경우 계수
K
{\displaystyle K}
가우스 곡률 이다.
가우스의 빼어난 정리 매장 돼 있는지에 관계없다는 사실이다. 다시 말해, 가우스 곡률은 곡면의 등거리변환 에 불변이다. 가우스 곡률은 제1 기본 형식 을 앎으로써 얻어질 수 있으며, 제1 기본 형식과 그것이 1·2계도 편미분 함수로 표현된다. 곧, 제2 기본 형식 의 행렬식도, 이와 마찬가지로, 제1기본형식으로 표현될 수 있다. 이 정리가 놀라운 것은, 가우스 곡률의 정의는 곡면이 공간에 어떻게 포함되는지에 의존하지만, 그 결과로 나오는 가우스 곡률 그 자체는 오직 곡면의 내적으로만 결정되며 그 외의 어떠한 정보도 필요하지 않다는 점이다. 곧, 가우스 곡률은 내재적 불변량이다.
가우스-보네 정리는 오일러 지표 를 가우스 곡률 로 나타내는 정리다. 이에 따르면, (경계가 없는) 곡면
M
{\displaystyle M}
오일러 지표
χ χ -->
{\displaystyle \chi }
2
π π -->
χ χ -->
=
∫ ∫ -->
M
d
A
K
{\displaystyle 2\pi \chi =\int _{M}dA\;K}
여기서
K
{\displaystyle K}
가우스 곡률 과 위상적인 성질인 오일러 지표 를 관련짓는다.
이를 경계를 지닌 곡면의 경우로 일반화하면 다음과 같다.
2
π π -->
χ χ -->
=
∫ ∫ -->
M
d
A
K
+
∫ ∫ -->
∂ ∂ -->
M
d
s
k
g
{\displaystyle 2\pi \chi =\int _{M}dA\;K+\int _{\partial M}ds\;k_{\mathrm {g} }}
여기서
k
g
{\displaystyle k_{\mathrm {g} }}
측지적 곡률 (geodesic curvature )이다.
