번사이드 정리

이 문서는 가해군에 대한 정리에 관한 것입니다. 군의 작용의 궤도 수에 대한 정리에 대해서는 번사이드 보조정리 문서를 참고하십시오.

군론에서 번사이드 정리(영어: Burnside theorem)는 크기의 소인수가 두 개 이하인 군은 가해군이라는 정리다.

정의

번사이드 정리에 따르면, 유한군 의 크기가 다음과 같은 꼴이라면 는 가해군이다.

여기서 와 는 소수이며, 과 은 음이 아닌 정수이다.

역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1895년에 이 정리를 꼴의 군에 대하여 증명하였다.[1] 카미유 조르당은 이 정리를 꼴에 대하여 증명하였다. 이후 1905년에 윌리엄 번사이드가 일반적인 꼴의 군에 대하여 증명하였다.[2]

증명

이 정리는 순수 군론에서의 정리이지만, 번사이드의 원래 증명은 군 표현론을 사용한다. 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 발표된 바 있지만, 번사이드 정리는 군 표현론의 군론에서의 대표적인 응용으로 꼽힌다.

번사이드의 원래 증명은 개략적으로 다음과 같다.

  1. 수학적 귀납법을 사용하여, 인 유한 단순군 가 순환군임을 증명하는 것으로 족하다. 귀류법을 사용해, 이러한 크기를 가진 유한 단순군 가 순환군이 아니라고 가정하자.
  2. 인 경우는 p-군의 이론에 따라 쉽게 보일 수 있다 (인 경우 자명하지 않은 중심을 갖게 돼, 단순군이 아님). 따라서 이라고 놓자.
  3. 켤레류 공식(영어: class equation)에 따라서, 는 에 대하여 서로소인 크기를 가진 켤레류를 갖는다. 따라서, 가 자명하지 않는 군의 중심을 갖거나, 아니면 크기가 인 켤레류를 갖는다 () 전자는 가 단순군이라는 가정에 어긋나므로, 후자가 옳다. 이 켤레류의 대표 원소를 라고 하자.
  4. 지표의 직교성을 사용하여, 인 의 기약 지표 가 존재한다.
  5. 는 단순군이므로, 자명하지 않은 모든 복소수 기약 표현은 충실한 표현이며, 는 중심이 자명군이므로, 따라서 이라면 이어야 한다. 이는 모순이다.

각주

  1. ↑ Frobenius, Georg (1895). “Über auflösbare Gruppen II”. 《Sitzungsber. Akad. Wiss. Berlin》 (독일어): 1027–1044. 
  2. ↑ Burnside, William (1911). 《Theory of Groups of Finite Order》 (영어). JFM 40.0183.02. 

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