환론에서 반단순환(半單純環, 영어: semisimple ring)은 모든 가군이 반단순 가군인 환이다. 유한 개의 나눗셈환들의 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다.

환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 반단순환이라고 한다.

• 스스로에 대한 왼쪽 가군으로서 반단순 가군이다.
• 스스로에 대한 오른쪽 가군으로서 반단순 가군이다.
• ${\displaystyle R}$의 왼쪽 가군들의 범주 ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
• ${\displaystyle R}$의 오른쪽 가군들의 범주 ${\displaystyle {\text{Mod-}}R}$에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
• ${\displaystyle R}$ 위의 모든 왼쪽 가군이 반단순 가군이다.
• ${\displaystyle R}$ 위의 모든 오른쪽 가군이 반단순 가군이다.
• 왼쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다.
• 오른쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다.
• 유한 개의 아르틴 단순환들의 직접곱이다. (단순환의 경우, 왼쪽 아르틴 조건과 오른쪽 아르틴 조건이 서로 동치이다.)
• (아르틴-웨더번 정리 영어: Artin–Wedderburn theorem) 유한 개의 나눗셈환들 ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{k}}$에 대한 직접곱 ${\displaystyle \textstyle \prod _{i}\operatorname {Mat} (n_{i};D_{i})}$과 동형이다.

모든 반단순환은 왼쪽 아르틴 환이며, 오른쪽 아르틴 환이며, 왼쪽 뇌터 환이며, 오른쪽 뇌터 환이며, 반원시환이다. 또한, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^[1]:173

만약 (왼쪽 또는 오른쪽) 아르틴 환의 조건을 가정하면, 이 함의 관계는 다음과 같이 단순해진다.^{[1]:173, Proposition 11.7}

단순환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반단순환이다.
• 왼쪽 아르틴 환이다.
• 오른쪽 아르틴 환이다.

특히, 반단순환이 아닌 단순환이 존재한다.

가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반단순환이다.
• 아르틴 축소환이다.
• 유한 개의 체들의 직접곱이다.

유한 개의 반단순환들의 직접곱은 반단순환이다.

반단순환의 구조는 아르틴-웨더번 정리(영어: Artin–Wedderburn theorem)로서 완전히 알려져 있다.^{[2]:40, Theorem 1.11} 구체적으로, 반단순환 ${\displaystyle R}$가 주어졌을 때, 정의에 따라 ${\displaystyle _{R}R}$는 반단순 가군이며, 이를 유한 개의 단순 가군의 직합으로 나타내어진다.

${\displaystyle _{R}R=\bigoplus _{i=1}^{k}{}_{R}M_{i}^{\oplus n_{i}}\qquad (i\neq j\implies M_{i}\not \cong M_{j})}$

이 경우,

${\displaystyle R^{\operatorname {op} }\cong \operatorname {End} (_{R}R)\cong \prod _{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n_{i};\operatorname {End} _{R}(M_{i}))}$

${\displaystyle R\cong \operatorname {End} (_{R}R)^{\operatorname {op} }\cong \prod _{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n_{i};\operatorname {End} (_{R}M_{i}))^{\operatorname {op} }\cong \prod _{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n_{i};\operatorname {End} (_{R}M_{i})^{\operatorname {op} })}$

가 된다. 슈어 보조정리에 의하여 ${\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M_{i})^{\operatorname {op} }}$는 나눗셈환이다. 즉, 반단순환은 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다.

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$는 반원시환이지만 아르틴 환이 아니므로 반단순환이 아니다. 정수환 위의 반단순 가군은 소수 크기의 순환군들의 직합인데, 이렇게 표기될 수 없는 아벨 군들이 존재한다.

바일 대수 ${\displaystyle \mathbb {Q} \langle x,p\rangle /(xp-px-1)}$는 단순환이자 영역이지만, 반단순환이 아니다.

자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$이 주어졌다고 하자. 복소수체 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬 대수

${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )=\operatorname {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})}$

가 주어졌을 때, 만약

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A^{*}\colon A\in {\mathcal {A}}\}}$

라면, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$는 반단순 대수이다. (여기서 ${\displaystyle (-)^{*}}$는 에르미트 수반이다.)

유한군 ${\displaystyle G}$와 체 ${\displaystyle K}$가 주어졌고, 또

${\displaystyle \operatorname {char} K\nmid |G|}$

라고 하자. (즉, ${\displaystyle G}$의 크기는 ${\displaystyle K}$의 표수를 소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 ${\displaystyle K[G]}$를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. 마슈케 정리(영어: Maschke’s theorem)에 따르면, 군환 ${\displaystyle K[G]}$는 반단순환이다. 이는 하인리히 마슈케(영어: Heinrich Maschke, 1853~1908)가 증명하였다.^[3][4]

• “Classical semi-simple ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semi-simple ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semi-simple algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Wedderburn-Artin theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semisimple Artinian ring”. 《Commalg》 (영어). 
• 이철희. “아틴-웨더번 정리(Artin–Wedderburn theorem)”. 《수학노트》.